一种外包FRP对纵筋侧向支撑刚度的计算方法

技术领域

本发明涉及一种外包FRP约束圆形钢筋混凝土柱中求解FRP约束混凝土对纵筋侧向支撑刚度的计算方法，具体涉及一种适用于圆形钢筋混凝土柱且具有可更新可修改的高准确性的FRP约束混凝土对纵筋侧向支撑刚度的计算方法。

背景技术

根据柱试验和震后结构的调查，会经常发现纵筋的屈曲，尤其是对于20世纪70年代以前按照旧规范建造的结构，其箍筋间距较大无法为纵筋提供足够的侧向支撑。近年来，纤维复合材料(FRP)被越来越多的运用在钢筋混凝土柱的抗震加固中，第一个作用是增强混凝土的强度和延性；第二个作用是防止或者延迟钢筋的屈曲。纵筋的屈曲通常伴随着保护层混凝土的脱落，当受压变形达到一定的临界值时，可能导致传统钢筋混凝土柱的突然失效。为保证旧建筑结构在强震作用下的安全性，有必要进行抗震加固，外包FRP的加固技术为钢筋混凝土柱抗震加固提供了强有力的技术支持，但由于纵筋屈曲的复杂性，目前对于FRP约束钢筋混凝土柱中纵筋屈曲的研究大多停留在感性认识上。因此，基于弹性地基梁模型(BOEF模型)，对约束均匀的FRP约束圆形钢筋混凝土柱进行纵筋侧向支撑刚度的分析计算，成为了分析纵筋屈曲变形的基础。

纵筋侧向支撑刚度的计算方法运用约束混凝土的模型，将柱截面进行等截面划分，取其一部分进行分析，将FRP与保护层混凝土组成的组合截面等效为单一材料的截面，将问题转化为基本的结构力学中超静定结构求解内力，根据刚度的定义求解侧向支撑的刚度。目前现有研究针对计算FRP约束钢筋混凝土柱中FRP约束混凝土对纵筋侧向支撑刚度的计算方法主要有Vincenzo Giamundo(2014)模型等，在该模型中将纵筋等效为水平的欧拉梁，纵筋侧向支撑刚度定义为FRP的约束刚度乘以FRP作用的长度，该方法并未建立起FRP、混凝土和钢筋之间的关系，可能会存在一定的误差，严重影响对纵筋屈曲进行定量的研究。

要想解决准确性问题，有必要建立起FRP、混凝土与钢筋三者之间的相互作用关系，可通过等效刚度的方法，将FRP与保护层混凝土形成的组合截面等效为单一的混凝土截面，根据对称性进行截面的化简，转化为成熟的结构力学求解超静定结构的问题，并根据刚度的定义得知FRP约束混凝土对纵筋的支撑刚度。目前现有计算方法较少，而且未建立起其三者之间的相互作用关系，缺乏一定的准确性与理论支持，因此，在实际的研究中并未得到实质性推广。

发明内容

针对现有计算FRP约束混凝土对纵筋侧向支撑刚度的计算方法在求解准确性方面存在的不足，本发明的目的在于提供一种普遍适用于圆形钢筋混凝土柱且具有可更新可修改的高准确性的FRP约束混凝土对纵筋侧向支撑刚度的计算方法。

本发明的技术方案如下：

一种外包FRP对纵筋侧向支撑刚度的计算方法，步骤如下：

第一步，根据柱截面纵筋的数量n和截面的对称性，对FRP约束的圆形钢筋混凝土柱截面进行等截面划分。基于弹性地基梁模型(BOEF)，在评估抑制纵筋屈曲的FRP约束混凝土保护层水平切片的刚度时，FRP约束保护层混凝土被理想化为一个曲线梁，将其两端固定并径向加载，即在跨中由钢筋产生向外的集中荷载P径向加载，则弹簧的等效刚度可表示为：K＝P/Δ，其中，Δ为曲线梁跨中位移。曲线梁的角度φ表示为φ＝2π/n，其中，n为柱截面纵筋的数量。曲线梁的半径r为：r＝R-c+h

第二步，对于曲线梁模型进行截面的分析，相比较于轴向的应力应变关系，更加应该关注截面的侧向(环向)的应力应变关系。假设混凝土本身为各向同性的材料，根据(Dai2011)面向分析的模型，给定一个确定的侧向应变，轴向应变、轴向应力和侧向应力均可确定。

对于外包FRP的侧向应变与约束压力的一般关系为：

其中：σ

Jiang and Teng(2007)提出钢筋约束混凝土模型，用于预测主动约束混凝土的应力应变关系：

其中，

其中，E

峰值压应力对应的轴向应变为：

其中，f'

Dai(2011)等人通过对实验数据进行最小二乘回归，得到了更好的描述等效归一化的轴向应变与归一化侧向应变的表达式：

其中，从回归分析得到a＝1.024，b＝0.350，和c＝0.089。因此，修正的侧向应变等式为：

给定侧向应变的初始值、最大值以及增量，带入上述的模型，便可得到轴向应力与应变和侧向应力与应变的关系。

第三步，根据等差原则，将第二步得到的全量形式的轴向应力与应变和侧向应力与应变的关系，转化为增量形式。例如，假定增量为p，新的轴向应变为N

其中，E：FRP约束混凝土弹性模量；ν：FRP约束混凝土的泊松比；σ

通过求解上述方程组，可以得到基于面向分析的模型的弹性模量E和泊松比ν的值，为：

根据求出的轴向应力、轴向应变、侧向应力和侧向应变，可确定出弹性模量与泊松比的值，弹性模量E会随着轴向应变的值变化而变化，但当轴向应变值较大时，弹性模量会趋于一个确定的值，取此值为FRP约束混凝土在轴向的剪切模量E

可以粗略的估计，FRP约束混凝土保护层在环向的弹性模量E

E

第四步，该曲线梁截面是由FRP与FRP约束的保护层混凝土组成的组合截面，组合截面中和轴的位置为：

其中，w：混凝土保护层的宽度；w

第五步，根据确定的中和轴位置，计算组合梁截面的弯曲刚度(EI)

(EA)

确定曲线梁的截面半径r为：r＝R-c+h

第六步，该曲线梁为三次超静定结构，将右端的三个多余的约束，用三个冗余力轴力X

首先，当冗余力X

M

N

V

同理，依次将冗余力X

M

N

V

和

M

N

V

在上式中，M

因此，当在X

其中，δ

相似的，可以求出当在X

当外荷载P施加于曲线梁，沿着曲线梁长的截面内力为：

M

因此，外荷载在三个方向上产生的位移可以表示为：

其中，Δ

三次超静定梁在柔度法中的标准公式为：

δ

δ

δ

可以化简为：

结合以上各式可得：

当三个冗余力全部确定后，就可以计算受外力P作用的超静定梁任意截面的内力。为了便于讨论，将曲线梁划分为两部分，分别位于集中荷载P的左侧(简称“L”)和右侧(简称“R”)。因此，可以得到集中荷载P右侧梁截面的内力为：

M

＝r(1-cosθ)X

N

＝X

V

＝X

相似的，集中荷载P左侧的梁截面荷载为：

虚功原理可以用于计算超静定曲线梁在集中荷载P作用下的变形，上述的柔度法给出了外荷载P作用下梁截面内力图的求解方法。同理可得，在施加荷载P的位置施加一个虚力可以同样得到梁的截面内力，如下：

M'

N'

V'

其中，X'

根据虚功原理，具有特定截面特性的梁在集中荷载作用下的变形可以记作：

其中，M、N和V为荷载P作用下截面内力；M'、N'和N'为虚力作用下的截面内力。为方便起见，将该曲线梁视为欧拉-伯努利梁，不考虑剪切变形的影响。因此，可以得出曲线梁在荷载P作用下该点的位移表达式为：

第七步，根据刚度定义，可知等效的截面刚度K为：

具体计算顺序为：

a)根据柱截面纵筋的数量和截面的对称性进行等截面划分，确定曲线梁模型；

b)采用Dai(2011)面向分析的应力应变模型，获得轴向应变、轴向应力、侧向应变和侧向应力及其增量形式；

c)将约束混凝土视为各向同性材料，根据弹塑性力学关系，求解FRP约束混凝土的弹性模量E和泊松比ν，弹性模量随着轴向应变的大小而变化，在轴向应变较大时趋于一个常数，即取值为E

d)该曲线梁为组合梁，等效转化为单一材料的截面，并求解该等效截面的截面特性；

e)将该曲线梁视为超静定结构，用力法等结构力学方法求解，求解在一个给定的荷载P作用下，在该作用点发生的位移Δ。

f)根据结构力学的刚度的定义，可知K＝P/Δ。

优选的，所述的第一步当中，确定曲线梁时，是根据柱截面对称性和纵筋的数量将柱截面进行等截面划分，普遍适用于FRP约束的钢筋混凝土圆柱。

优选的，所述的第一步当中，曲线梁近似的忽略由核心混凝土膨胀引起的钢筋和混凝土保护层同时的横向运动，认为这对需要评估的弹簧刚度具有微小的影响。

优选的，所述的第二步当中，在进行该曲线梁截面分析时，不应该只关注于柱整体的轴向应力与应变，该问题转化为了截面的分析，更应该关注与曲线梁截面的侧向应力与应变。

优选的，所述的第二步当中，采用增量形式Dai(2011)模型确定轴向应力应变与侧向应力应变，该模型在轴向应变较大时，预测值更加准确。随着研究的深入，约束模型可进行修改与更新。

优选的，所述的第三步当中，在轴压作用下，当轴向应力超过未约束混凝土的强度时，FRP约束效果明显是由混凝土的膨胀引起的，线性上升的第二部分控制着FRP约束混凝土的性能。钢筋的屈曲不太可能发生在较低的应力水平，因此可以假设在钢筋屈曲分析中，FRP约束的混凝土受应力应变曲线的线性第二阶段控制。因此，可以粗略的估计，FRP约束混凝土保护层在环向的弹性模量E

优选的，所述的第三步当中，将求出的全量形式的轴向应力应变与侧向应力应变转化为增量形式，按照等差原则进行转化。

优选的，所述的第四步当中，将原始截面转化为等效的保护层混凝土的倒T截面，确定出曲线梁单一材料的截面形心高度。

优选的，所述的第五步当中，根据等效后截面的形心高度确定曲线梁截面特性及其半径。

优选的，所述的第六步当中，该曲线梁为组合截面梁，为方便起见，将该曲线梁视为欧拉-伯努利梁，不考虑剪切变形的影响。

本发明与现有技术相比，优点在于：

1)本发明的一种外包FRP对纵筋侧向支撑刚度的计算方法中，运用的约束模型可随着学者们的深入研究进行修改和变形，计算中能根据柱子实际的本身特性而进行定义，计算中运用的计算方法是成熟且简单的结构力学求解超静定结构的方法，因此，可准确根据要求进行计算，随着研究的深入约束模型的更新，使得计算更加完善与精确，运用的结构力学方法结合求解软件，可大幅度提升求解效率。

2)本发明的一种外包FRP对纵筋侧向支撑刚度的计算方法，求解出的纵筋理论模型与试验结果进行了比较，具有一定的准确性，为分析FRP约束钢筋混凝土柱中纵筋的定量分析提供了强有力的理论计算基础。

3)本发明的一种外包FRP对纵筋侧向支撑刚度的计算方法步骤简单，计算效率高，且容易实施。

附图说明

图1FRP约束钢筋混凝土柱中混凝土、钢筋和FRP之间的相互作用示意图；

图2弹性地基梁模型示意图；

图3圆柱截面示意图；

图4曲线梁模型示意图；

图5轴向应力应变与侧向应力应变曲线示意图；

图6轴向应变与弹性模量示意图；

图7曲线梁剖面示意图；

图8三次超静定曲线梁基于柔度法的基本体系示意图；

图9基于柔度法冗余力X

图10基于柔度法冗余力X

图11基于柔度法冗余力X

图12基于柔度法荷载P作用在基本体系示意图；

具体实施方法

下面结合具体实施例来对本发明进行进一步说明，但并不将本发明局限于这些具体实施方式。本领域研究人员应该认识到，本发明涵盖了权利要求书范围内所可能包括的所有FRP约束圆形钢筋混凝土柱中纵筋的支撑刚度K的情况。

下面结合附图对本发明的计算方法作具体的描述：

以一个单层PEN约束的圆形钢筋混凝土柱为实例，具体阐述本发明的基于曲线梁模型评估FRP约束圆形钢筋混凝土柱中FRP约束混凝土对纵筋的侧向侧撑，柱截面如图1，在柱截面尺寸为200×200mm,纵筋为4Φ20，混凝土强度取值为35MPa，FRP的断裂应变为0.07，FRP的弹性模量为12GPa。所述计算FRP约束圆形钢筋混凝土柱中FRP约束混凝土对纵筋侧向支撑刚度的方法包含如下步骤：

第一步，根据柱截面的对称性和纵筋的数量，进行等截面划分，确定FRP约束保护层混凝土的曲线梁模型，如图2所示。曲线梁两端固定，在跨中即C点由钢筋产生向外的集中荷载P径向加载。曲线梁的角度φ为：φ＝2π/4＝π/2。

第二步，假定初始应变为0.0026，应变增量为0.0001，FRP的断裂应变取为0.7，给出的每一侧向应变，根据Dai(2011)的约束模型，可求出相应的轴向应变、轴向应力和侧向应力。如图3所示为轴向应力应变曲线与侧向应力应变曲线。

第三步，Dai(2011)的面向分析的模型为增量形式，需要将第二步得到的全量形式转化为增量形式。假定增量为2，则新的轴向应变为N

其中，E：FRP约束混凝土弹性模量；ν：FRP约束混凝土的泊松比；σ

通过求解上式，可以得出FRP约束混凝土的弹性模量E和泊松比ν的值，为：

从该式可知，每一组轴向应力、轴向应变、侧向应力与侧向应变数值，可求解出唯一的一个弹性模量和泊松比值。如图4所示，为弹性模量与轴向应变的关系图，当轴向应变相对较大时，弹性模量趋于一个常数，将该值取为剪切模量E

(348.23+348.78+349.32+349.87+350.41+350.95+351.49+352.03+352.57+353.10+353.64+354.17+354.70+355.23+355.76+356.29+356.82+357.34+357.86+358.39+358.91)/21≈354MPa即得到FRP约束混凝土在轴向的剪切模量为：E

第四步，该曲线梁截面是由FRP与FRP约束的混凝土保护层组成的组合截面(如图5所示)，组合截面中和轴的位置为：

在该实例中，将混凝土保护层的宽度取为1mm，混凝土保护层厚度为20mm，取上顶面为零点，则该曲线梁组合截面中和轴的位置为:

确定了等效后截面的中和轴位置，便可将该组合梁转化为单一材料的倒T字截面梁。

第五步，利用第四步求出的等效后截面中和轴的高度，计算该组合梁截面的抗弯刚度(EI)

(EI)

+12000×[1×1.272

(EA)

r＝100-20+17.2658＝97.2658mm

第六步，该曲线梁为三次超静定结构，将右端的三个多余约束用三个冗余力轴力X

首先，如图7所示，当冗余力X

M

N

V

同理，如图8和9所示，依次将冗余力X

M

N

V

和

M

N

V

在上式中，M

为方便起见，将该曲线梁视为欧拉-伯努利梁，不考虑剪切变形的影响。因此，当在X

其中，δ

相似的，可以求出当在X

当外荷载P施加在曲线梁时(如图10所示)，沿着曲线梁长的截面内力为：

M

因此，外荷载在三个方向上产生的位移可以表示为：

其中，Δ

三次超静定梁在柔度法中的标准公式为：

结合以上各式可得：

当三个冗余力全部确定后，就可以计算受外力P作用的超静定梁任意截面的内力。为了便于讨论，将曲线梁划分为两部分，分别位于集中荷载P的左侧(简称“L”)和右侧(简称“R”)。

因此，可以得到集中荷载P右侧梁截面的内力为：

M

＝97.2658×(1-cosθ)×0.8867+97.2658×sinθ×(-0.1796)+(-2.0823)

＝86.2456×(1-cosθ)-17.4689×sinθ-2.0823

N

V

相似的，集中荷载P左侧的梁截面荷载为：

虚功原理可以用于计算超静定曲线梁在集中荷载P作用下的变形，上述的柔度法给出了外荷载P作用下梁截面内力图的求解方法。同理可得，在施加荷载P的位置施加一个虚单位力可以同样得到梁的截面内力，如下：

M'

＝97.2658×(1-cosθ)×0.8867+97.2658×sinθ×(-0.1796)+(-2.0823)

＝86.2456×(1-cosθ)-17.4689×sinθ-2.0823

N'

V'

其中，X

根据虚功原理，具有特定截面特性的梁在集中荷载作用下的变形可以记作：

其中，M、N和V为荷载P作用下截面内力；M'、N'和N'为虚力作用下的截面内力。为方便起见，将该曲线梁视为欧拉-伯努利梁，不考虑剪切变形的影响。因此，可以得出曲线梁在荷载P作用下该点的位移为：

第七步，根据刚度与柔度的关系，可知曲线梁的截面刚度K为：

应当理解的是，本发明描述的方法的步骤不仅仅是示例性的描述，对于所有的FRP约束钢筋混凝土柱都适用，并且为分析纵筋屈曲的深入研究奠定了基础。

如上所示，本发明虽然已参照有限的实施例和附图进行了说明，但在本发明所属领域中具备通常知识的人均可从此记载中进行各种修改和变形。由此，其他实施例及权利要求书与等同物均属于权利要求的保护范围。