一种基于统一逻辑的delaunay单纯复形的构建方法

技术领域

本发明涉及地理信息科学与计算机科学领域，具体涉及一种基于统一逻辑的delaunay单纯复形的构建方法。

背景技术

关于delaunay三角网的构建，目前已经有许多相关研究，尤其是二维三角网构建(往往称为2D Triangulation)以及二维delaunay三角网构建(往往称为2D DelaunayTriangulation)，在地理信息系统(GIS,Geographic Information System)领域和计算机科学(CS,Computer Science)领域中使用众多，尤其是在地形表达、河流网或山谷山峰的特征分析、宗地的分割与合并、基于点云的表面重建、表面网格化表达、人脸特征点识别、数据压缩等得到广泛应用。而三维三角网(往往称3D Traingulation)以及三维delaunay三角网构建(往往称3D Delaunay Triangulation)，同样在地理信息系统与计算机科学领域有所应用，但是远不如以上二维三角网使用广泛，它集中于三维地理实体表达(尤其是三维地质体、三维矿体、三维地籍产权体的实体表达)、有限元分析、计算机辅助设计中的产品形状表达等分支领域。

尽管针对二维三角化的相关研究众多，二维三角化综述性的文献也有不少，三维三角化(事实上即四面体化)的相关研究也有不少，但是纵览所有相关文献(包括中文和英文)，没有一项研究具体阐述二维三角化和三维三角化的异与同，更没有一篇全面对比以上两者在逻辑上的联系与区别。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明旨在提供一种基于统一逻辑的delaunay单纯复形的构建方法，既可以实现二维delaunay三角网的自动构建，也可以实现三维delaunay四面体的自动构建。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种基于统一逻辑的delaunay单纯复形的自动构建方法，具体过程为：

第一步、构建包含所有输入点的外包络env，所述外包络env为二维外包络env2d或三维外包络env3d；

第二步、构建初始delaunay单纯复形initComp：任意选定包含在步骤S1构建的外包络内部的任意一点pnt，所述初始单纯复形initComp是通过依次连接所述点pnt与所述外包络env中各个输入点形成的；

第三步、选取尚未插入的点pt；

第四步、定位所选取的未插入点pt的所在delaunay单纯形ptSimp；

第五步、构建新的delaunay单纯复形的局部剖分divComp：将第三步中选取的尚未插入点pt与第四步中确定的所在单纯形ptSimp的边界上的各个输入点相连，从而形成局部剖分；

第六步、对第五步所得的单纯复形divComp进行局部优化LOP；

第七步、重复第三步至第六步，直至没有剩余点需要插入。

进一步地，第一步中，所述二维外包络为三角形、矩形、正方形、二维凸壳中的一种；所述三维外包络为三维四面体、五面体、六面体、三维凸壳中的一种。

进一步地，第三步中，点pt的选取准则为随机选取或有规则选取，有规则的选取为通过网格索引后依次选取或按照坐标轴排序后依次选取。

进一步地，上述方法还包括有第八步，删除冗余delaunay单纯形集合：在最终形成的单纯形的集合中，如果有单纯形的点位于外包络env的边界上，这样的单纯形称为冗余单纯形，需要删除所有冗余单纯形。

本发明的有益效果在于：本发明方法中，在二维delaunay三角网的构造中，输入的是0维点，输出的是2维delaunay三角形集合；在三维delaunay三角网的构造中，输入的也是0维点，输出的是3维delaunay四面体集合。传统的空间实体构造原则是“逐级构造原则”，即满足“0维点-1维边-2维面-3维体”的逐个级别构造层次，相邻层次的维度差别最多只能为1维；然而，在本发明中，二维构网从0维点至2维三角形跨越了2个维度，三维构体从0维点至3维四面体甚至跨越了3个维度。

其次，本发明中，在二维delaunay三角网的构造过程中，输入的是0维点，输出的是2维delaunay三角形集合，每个2维三角形通过点相邻、边相邻等规则组合形成2维delaunay三角形集合，该集合中不存在孤立/悬挂三角形等奇异情况。类似地，在三维delaunay三角网的构造过程中，输入的是0维点，输出的是3维delaunay四面体集合，每个3维四面体通过点相邻、边相邻、面相邻等规则组合形成3维delaunay四面体集合，该集合不存在孤立/悬挂四面体等奇异情况。以上集合中的每个2维三角形或者每个3维四面体，事实上都是拓扑学中单纯形(simplex)的特例，即2维三角形是二维单纯形(2d simplex)，3维四面体是三维单纯形(3d simplex)；以上单纯性的集合是拓扑学中单纯复形(complex)的特例，即2维delaunay三角形形成的集合是二维单纯复形(2d complex)，3维delaunay三角形形成的集合是三维单纯复形(3d complex)；事实上，输入的0维点本身也是一类特殊的单纯形，0维点是零维单纯形(0d simplex)。所以，2维/3维delaunay三角网的构造过程，本身就是形成单纯复形的过程，以上是从拓扑关系角度显著反映了本发明提出方法的逻辑统一性。

再次，2维delaunay三角网与3维delaunay三角网的构建，除了在以上原理角度和拓扑角度反映了逻辑一致性，它们在几何实现角度上也是逻辑一致的，典型表现如下：在2维delaunay三角网构造中，往往首先需要找到插入点所在三角形，然后剖分以上所在三角形，如果剖分后的局部三角网不满足空圆准则那么再给予局部优化操作；在3维delaunay三角网构造中，往往首先需要找到插入点所在四面体，然后剖分以上所在四面体，如果剖分后的局部三角网不满足空球准则那么再给予局部优化操作。以上基于空圆准则的局部优化操作往往是边的交换，而基于空球准则的局部优化操作往往是边或面的交换，而二维/三类优化过程中局部交换的几何操作实现也是类似的。

附图说明

图1为本发明实施例1提出方法的流程示意图；

图2为本发明实施例1提出方法在二维实现的详细算法步骤；

图3为本发明实施例1提出方法在三维实现的详细算法步骤；

图4为本发明实施例2中输入500个点时二维delaunay三角化实例示意图；

图5为本发明实施例2中输入500个点时三维delaunay三角化实例示意图；

图6为本发明实施例2中真实案例亚洲(Asia)的国家首都delaunay三角化实例示意图；

图7为本发明实施例2中真实案例欧洲(Europe)的国家首府delaunay三角化实例示意图；

图8为本发明实施例2中真实案例深圳市典型三维产权体的三角化实例示意图；

图9为本发明实施例2中采用行列式判断点和直线的关系原理示意图；

图10为本发明实施例2中采用行列式判断点和空间平面的关系原理示意图；

图11为本发明实施例2中从“二维平面三角化”过渡至“二维球面三角化”(即三维三角化的外表面)的原理示意图。

具体实施方式

以下将结合附图对本发明作进一步的描述，需要说明的是，本实施例以本技术方案为前提，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围并不限于本实施例。

本实施例提供一种基于统一逻辑的delaunay单纯复形的自动构建方法，如图1-3所示，具体过程为：

第一步、构建包含所有输入点的外包络env。可以是二维外包络env2d，即是三角形(是二维多边形的边数为3的特例)、矩形或正方形(是二维多边形)、二维凸壳(即二维多边形的特例)、二维多边形等。也可以是三维外包络env3d，即是三维四面体(即四面体)、五面体、六面体(往往是长方体或正方体)、三维凸壳(即多面体的特例)、多面体等。

实际构建中，在二维情况下，在确定初始多边形时，多采用凸壳多边形(虽然构造凸壳花费一定时间，但是免除了第八步删除冗余)；其次多采用外接矩形，再次才是采用外接三角形(外接矩形和外接三角形的构造比较快速，但是需要第八步删除冗余)。

实际构建中，在三维情况下，在确定初始多面体时，多采用凸多面体和四面体(虽然构造凸多面体花费一定时间，但是同样免除了第八步删除冗余)；其次多采用外包长方体或外包正方体(外包长方体和外包正方体的构造比较快速，但是需要第八步删除冗余)。

第二步、构建初始delaunay单纯复形initComp。任意选定包含在步骤S1构建的外包络内部的任意一点pnt，所述初始单纯复形initComp是通过依次连接所述点pnt与所述外包络env中各个输入点形成的。上述连接的过程和构造的单纯复形initComp都是比较确定的，

在二维中，initComp就是二维单纯复形的集合；在三维中，initComp就是三维单纯复形的集合。

第三步、选取尚未插入的点pt。这里的pt选取准则，可以是随机选取，也可以是有规则选取。有规则的选取是指，可以是通过网格索引后依次选取，也可以是按照坐标轴排序后依次选取。

实际选取时，在二维情况下，针对选取未使用点，可以采用X和Y轴排序后插入点，也可以采用网格轮流插点或随机插入点，它们各有利弊。采用X和Y轴排序后插入点，可以有效减少步骤四中候选三角形个数(即定位更方便)，但是会增加步骤六中二维局部优化LOP的次数(即造成LOP花费时间更多)；而网格轮流插点和随机插点，可以有效减少步骤六中二维局部优化LOP的次数(即LOP花费时间更少)，但是会增加步骤四中候选三角形个数(即定位更困难)。

实际选取时，在三维情况下，针对选取未使用点，可以采用八叉树索引、网格索引、排序结合面法矢量点乘加法(类似于以上二维中X和Y轴排序后插入，都是定位更方便但是可能造成LOP花费时间更多)，也可以采用形心法加速、重心法加速、体积法加速等，类似地，这些方法在定位和局部优化LOP方面各有利弊。

第四步、定位所选取的未插入点pt的所在delaunay单纯形ptSimp。该delaunay单纯形ptSimp的定位与所述未插入点pt的选取密切相关，有的是通过筛选大量候选delaunay单纯形后才确定，有的通过筛选少量候选delaunay单纯形就确定。

实际定位时，在二维情况下，定位未插入点pt所在三角形，最直观的方法是判断点与三角形边的关系(即判断点在有向边的左侧或右侧)，此外还有三角形矢量面积负值法(即点在三角形内部时矢量面积和为1及其改进(对点在三角形外区域的进一步细分))。以上方法是针对点与每个三角形做比较，此外还可以采用其它方法加速定位，如借助三角形重心加速定位(也称三角形重心异侧法或方向定位法)、结合重心异侧法和唯一路径直线段的方法(也称最速方向定位法)；以上方法都较为常用，其它还有借助网格索引、借助三角形最小外接矩形框(MBB,Minimum Bounding Box)、树形层次结构等加速定位(其中网格索引最为常用)。在三维情况下，针对定位点所在四面体，基本采用体积法。

第五步、构建新的delaunay单纯复形的局部剖分divComp。即将第三步中选取的尚未插入点pt与第四步中确定的所在单纯形ptSimp边界上的各个输入点相连，从而形成局部剖分，该局部剖分是一个单纯复形。以上连接过程是比较确定的。

在二维中，连接点pt与所在二维单纯形ptSimp形成的局部剖分divComp为一个二维单纯复形(该二维单纯复形由三个新的二维单纯形组成，简称1分3)。在三维中，连接点pt与所在三维单纯形ptSimp形成的局部剖分divComp为一个三维单纯复形(该三维单纯复形由四个新的三维单纯形组成，简称1分4)。

第六步、单纯复形divComp的局部优化LOP。局部优化LOP(Local OptimizationProcedure)可以是二维局部优化LOP2d，也可以是三维局部优化LOP3d。

在二维delaunay单纯复形构造中，使用二维局部优化LOP2d，LOP2d的核心是，判断第五步最后形成的二维单纯复形divComp包含的任意一个二维单纯形的外接圆应当不包含任意第四点(任意第四点是指以上二维单纯形本身组成三个点之外的任意其它点)。

在三维delaunay单纯复形构造中，使用三维局部优化LOP3d，LOP3d的核心是，判断以上第五步最后形成的三维单纯复形divComp包含的任意一个三维单纯形的外接球应当不包含任意第五点(任意第五点是指以上三维单纯形本身组成四个点之外的任意其它点)。

实际优化中，在二维情况下，判断是否需要二维LOP局部优化，最直观的方法是基于距离方法(即与外接圆半径的长度比较)及其改进(将其嵌入于更高维空间进行距离比较)。除了基于距离比较，还有基于角度比较，包括基于单个角的三角函数cos值、基于两个角和的三角函数sin值(与单个角的cos值等价)，甚至采用Qi值替换三角函数从而加速判断等。确定需要二维LOP局部优化时，优化过程就是交换对角线边。

实际优化中，在三维情况下，判断是否需要三维LOP局部优化，多采用直观的基于距离方法，也有采用基于行列式策略或基于向量策略(它们基本上是对直观的基于距离方法的表达或计算的改进)。确定需要三维LOP局部优化时，优化过程包括交换边和交换面。

第七步、重复第三步至第六步，直至没有剩余点需要插入。具体是指，继续寻找下一个尚未插入的点，然后确定该点所在的delaunay单纯形，再构建以上以上单纯形的局部剖分，该局部剖分是一个单纯复形，之后再实现以上单纯复形的局部优化，如此循环操作，直至没有剩余点需要插入。

至此，本实施例方法的时间复杂度基本已经确定。

二维情况下，只要步骤一中构建二维外包络的花费时间t1确定，步骤三中选取未使用点的花费时间t3确定，步骤四中定位未使用点所在delaunay单纯形的花费时间t4确定，步骤六中二维局部优化LOP2d的花费时间t6确定，且步骤七中迭代次数N确定，那么总体花费时间约为(t1+t3+t4+t6)*N。

类似地，三维情况下，只要以上步骤一中构建三维外包络的花费时间T1确定，以上步骤三中选取未使用点的花费时间T3确定，以上步骤四中定位未使用点所在四面体的花费时间T4确定，以上步骤六中三维局部优化LOP3d的花费时间T6确定，且本步骤七中迭代次数N确定，那么总体花费时间约为(T1+T3+T4+T6)*N。

第八步，删除冗余delaunay单纯形集合。删除冗余是指，在最终形成的单纯形的集合中，如果有单纯形的点位于外包络env的边界上，这样的单纯形称为冗余单纯形，需要删除所有冗余单纯形。

在二维中，删除的冗余单纯形是指包含最外围包络上点的二维单纯形集合。在三维中，删除的冗余单纯形是指包含最外围包络上点的三维单纯形集合。

基于以上提出的基于统一逻辑的delaunay单纯复形自动构建方法，可以实现二维和三维delaunay三角网的有效构建。

实施例2

本实施例是为了阐述实施例1提出方法的有效性和实用性所给出的具体案例实现。具体如下，图4-5给出了标准实例，其中图4给出了输入点为500个二维随机点时的二维delaunay实现结果可视化，图5给出了输入点为500个三维随机点时的三维delaunay实现结果可视化。附图6、附图7和附图8给出了真实实例实现，附图6和附图7分别给出了亚洲和欧洲各个国家首都的二维delaunay实例，其中图6(a)和图7(a)均为首府空间分布图，图6(b)和图7(b)均为首府Delaunay三角网结构图。附图8(a)至8(g)分别给出了后海地下停车场、老街至国贸地铁、卓越世纪中心、深圳香港西部通道、中兴通讯、供电局、万象城的通过二维面片实现三维构体实现，其中，附图8(a1)至8(g1)是通过原有二维界址面片实现构体，附图8(a2)至8(g2)是首先让原有二维界址面片给与二维delaunay三角化之后再通过三角化面片实现构体，以上附图8(a1)至8(g1)的构体结果与附图8(a2)与8(g2)的构体结构是保持一致的，这更加证明了实施例1所提出方法的有效性。

实施例1提出的方法的逻辑一致性主要通过基本原理角度体现，即0维点通过空圆准则实现二维三角形构造，0维点也可以通过空球准则实现三维四面体构造，空球准则和空球准则的基本原理上是一致的。而拓扑关系角度的逻辑一致性与几何实现角度的逻辑一致性可以看作是基本原理角度的逻辑一致性的进一步衍生，因为拓扑关系角度的逻辑一致性和几何实现角度的逻辑一致性都是围绕基本原理角度的逻辑一致性展开的，其中，拓扑关系角度的逻辑一致性可以看作是从结果层面来理解，因为0维点(即0维单纯形)借助空圆准则的构造结果是三角形集合(每个三角形都是2维单纯形，它们的集合是2维单纯复形)，而借助空球准则的构造结果是四面体集合(每个四面体是3维单纯形，它们的集合是3维单纯复形)。而几何角度的逻辑一致性可以看作是从过程层面来理解，因为空圆准则和空球准则的几何判断可以借助二阶/三阶行列式、面积/体积等方法具体实现，它们在具体实现思路上是统一的(即统一借助行列式或统一借助面积/体积等参数)。

作为实施例1提出方法逻辑一致性的有效补充，以下首先补充实施例1提出方法的几何实现一致性，具体通过以下算法1(通过行列式表达判断嵌入二维空间的0D点与1D直线的位置关系)和算法2(通过行列式表达判断嵌入三维空间的0D点与2D平面的位置关系)展开，然后补充实施例1提出方法的拓扑关系一致性，通过嵌入于二维平面空间、二维球面空间、三维空间中各类构造元素个数之间的关系以及以上各类空间中各类构造元素的过渡关系从而展开。具体如下：

在二维delaunay算法中，会出现0D点、1D线、2D三角形、2D外接圆，它们是常见的几何对象类型；理论上，以上4个几何对象两两之间存在6种关系。类似地，在三维Delaunay算法中，会出现0D点、1D线、2D三角形、3D四面体、3D外接球，它们是常见的几何对象类型；理论上，以上5个几何对象两两之间存在10种关系。以上几何对象之间的几何计算的表达统一性，从几何实现角度反映了“构建二维delaunay三角网和构建三维delaunay三角网的逻辑统一性”，其中，较为典型的有“采用行列式表达判断嵌入二维空间的0D点与1D直线的位置关系”(以下算法1)与“采用行列式表达判断嵌入三维空间的0D点与2D平面的位置关系”(以下算法2)。以上两个算法具体如下，同时给出证明过程：

算法1：判断嵌入二维空间的0D点与1D直线的位置关系(采用行列式表达)

如附图9所示，已知平面中两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，同时，平面中任意一点采用P(x,y)表达，那么，任意一点P(x,y)与直线的位置关系判断，可以采用如下公式(b1)表达(为计算直观，保证x1＜x2，即点P1(x1,y1)在左侧，点P2(x2,y2)在右侧)：

证明(行列式证明)：

在此，只要证明任意点在直线的上方时满足det(T)＞0，那么任意点在直线的下方时满足det(T)＜0就很容易类似推理得到。

当任意点位于直线上方时,如附图9中点Pa所示，点Pa与恰好位于直线上的点P存在Y方向上的偏移量t(此时满足t＞0)，则满足如下公式(b2):

由以上公式(b2)可见，当任意点位于直线的上方时，满足行列式det(T)＞0；类似地，当任意点位于直线的下方时，满足行列式det(T)＜0；当任意点位于直线的内部时，满足行列式det(T)＝0。

算法2：判断嵌入三维空间的0D点与2D平面的位置关系(采用行列式表达)

如附图10所示，已知空间中三点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)和P3(x3,y3,z3)，同时，空间中任意一点采用P(x,y,z)表达，那么，空间中任意一点P(x,y,z)与平面的位置关系判断，可以采用如下公式(d1)表达(为计算直观，保证从俯视角度看去以上平面中三点形成三角形的逆时针走向)：

证明(行列式证明)：

在此，只要证明任意点在平面的上方时满足det(T)＞0，那么任意点在平面的下方时满足det(T)＜0就很容易类似推理得到。

当任意点位于平面的上方时，如附图10中点Pa所示，点Pa与恰好在平面上的点P存在Z方向上的偏移量t(此时满足t＞0)，则满足如下公式(d2)：

由以上公式(d2)可见，当任意点位于平面的上方时，满足行列式det(T)＞0；类似地，当任意点位于平面的下方时，满足行列式det(T)＜0；当任意点位于平面的内部时，满足行列式det(T)＝0。

以上“判断嵌入二维空间的0D点与1D直线的位置关系”与“嵌入三维空间的0D点与2D平面的位置关系”都可以统一采用行列式形式的几何计算方式给予表达，从几何角度反映了实施例1提出的方法的逻辑一致性。类似地，还有”二维中空圆判断准则”与”三维中空球判断准则”的几何计算也可采用行列式统一表达。

实施例1阐述的delaunay单纯复形构造方法是逻辑一致的，尤其是体现在拓扑层面。在这里，特别引入了嵌入于球面的delaunay三角网(即2.5D三角网)，而嵌入于2.5D球面的delaunay三角网可以看作是2D平面delaunay三角网的拓展版本(即引入了无穷远点)，同时嵌入于2.5D球面的delaunay三角网又等价于3D空间delaunay三角网的外轮廓边界，通过以上三者(嵌入于2D平面、嵌入于2.5D球面、嵌入于3D空间)中顶点、边、三角面片的个数等可以验证二维和三维delaunay三角网构造在拓扑关系角度的一致性。具体如下：

嵌入于二维平面空间(2D Plane，简写为2p)中各类构造元素的个数如下计算：

Vb(2p)是Vboundary(2d-plane)的缩写，代表嵌入于2维平面、位于边界的0维顶点的个数；

Vi(2p)是Vinterior(2d-plane)的缩写，代表嵌入于2维平面、位于内部的0维顶点的个数；

Vb(2p)和Vi(2p)共同构成了嵌入于2维平面的所有0维顶点的个数；

Eb(2p)是Eboudary(2d-plane)的缩写，代表嵌入于2维平面、位于边界的1维边的个数；

Ei(2p)是Einterior(2d-plane)的缩写，代表嵌入于2维平面、位于内部的1维边的个数；

Eb(2p)和Ei(2p)共同构成了嵌入于2维平面的所有1维边的个数；

T(2p)是Triangulation(2d-plane)的缩写，代表嵌入于2维平面的所有2维三角形的个数；

分别根据三个公理条件：(a)二维平面剖分的欧拉公式、(b)每条边被利用2次、(c)边界上的顶点与边是一一对应关系(因为在边界上一个顶点关联2条边、每条边有2个顶点)，得到如下公式组(1-1)中三个公式:

针对以上3个方程，总共存在Vb(2p)、Vi(2p)、Eb(2p)、Ei(2p)、T(2p)5个参数，其中，Vb(2p)和Vi(2p)看作2个已知参数，则理论上可以给予剩余3个未知参数的求解。

具体的，求解以上公式组(1-1)，可以得到如下解(1-2)或解(1-3)：

T(2p)＝Vb(2p)+2Vi(2p)-2 (1-3)

如果把以上公式中顶点总数表达为n，位于边界上的边总数表达为k，那么以上(1-2)可以变化为如下公式(1-4)，这在下面嵌入于球面的二维delaunay计算中会使用：

嵌入于二维球面空间(2D Sphere,简写为2s)中各类构造元素的个数如下计算：

Vb(2s)是Vboundary(2d-sphere)的缩写，代表嵌入于2维球面、位于边界的0维顶点的个数；

Vi(2s)是Vinterior(2d-sphere)的缩写，代表嵌入于2维球面、位于内部的0维顶点的个数；

Vb(2s)和Vi(2s)共同构成了嵌入于2维球面的所有0维顶点的个数V(2s)；

Eb(2s)是Eboundary(2d-sphere)的缩写，代表嵌入于2维球面、位于边界的1维边的个数；

Ei(2s)是Einterior(2d-sphere)的缩写，代表嵌入于2维球面、位于内部的1维边的个数；

Eb(2s)和Ei(2s)共同构成了嵌入于2维球面的所有1维边的个数E(2s)；

T(2s)是triangulation(2d-sphere)的缩写，代表嵌入于2维球面的所有2维三角面片个数；

在这里，针对嵌入于二维球面空间的0维顶点、1维边、2维三角面片的个数，采用由以上“嵌入于二维平面空间的0维点、1维边、2维三角面片”的基础上再追加“一个无穷远点”的思路构造。附图11左侧给出了追加无穷远点p的典型例子。

由附图11左侧可以看到，由原来的二维平面空间剖分(由n个点、(3n-k-3)条边、(2n-k-2)个三角面片构成，由以上公式(1-4)得到，列于附图11右侧中表的第1行和第2行)，追加了一个无穷远点之后，事实上形成了二维球面空间剖分。而追加一个无穷远点带来的改变如下：事实上，只增加了1个顶点、k条边、k个三角面片(如附图11右侧表的第3行所示)。

故而，最终得到的二维球面空间剖分中，存在(n+1)个顶点、(3n-3)条边、(2n-2)个三角面片，此时，针对顶点个数、边个数、三角面片个数，与k无关(事实上，形成二维球面空间后，也已经没有外壳上边个数k的概念，即已经不存在外壳概念，如附图11右侧表1中的第4行和第5行)，如下列公式(2-1)所示。

对于以上公式(2-1)进一步化简，可以得到如下公式(2-2)：

值得注意的是，以上二维球面空间剖分的结果(即公式2-2)，与之后所述三维空间剖分中存在对应关系，即对应于三维空间剖分中的外壳(如附图11中表的第5行和第7的箭头对应关系)，具体如下列公式(2-3)所示，其中Vb(3s)、Eb(3s)、Fb(3s)的概念定义参照后面：

嵌入于三维空间(3D Space,简写为3s)中各类构造元素的个数如下计算：

Vb(3s)是Vboundary(3d-space)的缩写，代表嵌入于三维空间、位于边界的0维顶点的个数；

Vi(3s)是Vinterior(3d-space)的缩写，代表嵌入于三维空间、位于内部的0维顶点的个数；

Vb(3s)和Vi(3s)共同构成了嵌入于三维空间的0维顶点的个数；

Eb(3s)是Eboundary(3d-space)的缩写，代表嵌入于三维空间、位于边界的1维边的个数；

Ei(3s)是Einterior(3d-space)的缩写，代表嵌入于三维空间、位于内部的1维边的个数；

Eb(3s)和Ei(3s)共同构成了嵌入于三维空间的1维边的个数；

Fb(3s)是Fboundary(3d-space)的缩写，代表嵌入于三维空间、位于边界的2维三角面片个数；

Fi(3s)是Finterior(3d-space)的缩写，代表嵌入于三维空间、位于内部的2维三角面片个数；

Fb(3s)和Fi(3s)共同构成了嵌入于三维空间中2维三角面片的个数；

T(3s)是Tetrahedron(3d-space)的缩写，代表嵌入于三维空间的所有3维四面体的个数；

与以上类似地，分别根据2个公理：(a)三维空间剖分的欧拉公式、(b)每个三角面片都被使用2次，得到如下方程组(3-1)所示:

针对以上公式3-1中的2个方程，总共存在Vb(3s)、Vi(3s)、Eb(3s)、Ei(3s)、Fb(3s)、Fi(3s)、T(3s)这7个参数，其中，Vb(3s)、Vi(3s)、Ei(3s)看作3个已知参数，而剩余的Eb(3s)和Fb(3s)可以根据以上表达2-3得到，那么根据3-1中2个方程求解剩余2个未知参数T(3s)和Fi(3s)。具体给予以上公式(3-1)的求解，得到如下解(3-2)：

从以上嵌入于2D空间、2.5D球面、3D空间的各类构造元素个数之间关系的紧密关联性质以及层层递减性质，可以看出实施例1提出方法的拓扑关系一致性。

本发明是受资助于“自然资源部城市国土资源监测与仿真重点实验室开放基金资助课题，项目编号KF-2019-04-017(The Project Supported by the Open Fund of KeyLaboratory of Urban Land Resources Monitoring and Simulation,Ministry ofNatural Resources)(Project ID:KF-2019-04-017)”以及“浙江省自然科学基金资助，项目编号为LQ19D010005(Zhejiang Provincial Natural Science Foundation of Chinaunder Grant No.LQ19D010005)”以及“宁波市自然科学基金资助项目，项目编号为2018A610121(Ningbo Natural Science Foundation under Grant No.2018A610121)”以及“数字制图与国土信息应用工程国家测绘地理信息局重点实验室开放研究基金资助项目，项目编号为GCWD201801(Funded By Open Research Fund Program of KeyLaboratory of Digital Mapping and Land Information Application Engineering,NASG under Grant No.GCWD201801)”。

对于本领域的技术人员来说，可以根据以上的技术方案和构思，给出各种相应的改变和变形，而所有的这些改变和变形，都应该包括在本发明权利要求的保护范围之内。