修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建方法及装置

技术领域

本发明涉及锰铜基阻尼合金本构关系领域技术领域，尤其是涉及一种修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建方法及装置。

背景技术

当今时代，新型作战样式对装甲装备武器系统提出了城市化、无人化、智能化、高机动性和精准打击等性能的要求，遥控武器站作为同时具备以上特性的武器系统，在世界先进军事强国的装甲武器系统中都占据了重要地位。遥控武器站具备目标搜索、识别、跟踪、瞄准和行进间稳定射击功能，可使战斗员不必暴露在车外即可操纵武器打击敌人，通过安装高精度的昼夜观瞄装置，提高作战距离的同时使其具备全天候作战能力，作为武器平台还可以安装各型火炮、机枪、榴弹发射器、防空和反坦克导弹、高能激光武器，提供强大的火力支援，具有广阔的应用前景和发展需求。

然而由于路面扰动、车体振动和武器发射冲击载荷的综合影响，遥控武器站射击密集度的提高一直是限制其发展的关键因素。架座作为遥控武器站的一个重要组成部分，主要包括缓冲器、摇架、托架和座圈，武器安装在摇架上，摇架通过耳轴安装在托架上，托架下方固定在座圈上，座圈与车体相连。其中缓冲器主要减少武器射击时冲击载荷传递到摇架上的后坐力，摇架和托架起到承载机枪武器及控制武器站高低向变化的作用，座圈则在纵向承载整个武器站，控制武器站方位向回转及连接车体的作用，架座的振动性能直接影响到武器站射击密集度的提高。而目前针对武器站射击密集度提高的研究主要是从武器发射动力学特性、火控系统、减振器设计、结构优化、射击控制算法等方面展开，取得了一定效果，但仍存在系统稳定性差，总体匹配性不高，经济性，可靠性不足等问题，仍需要进一步研究改进。

阻尼合金的应用十分广泛，已经涉及机械、核电、精密仪器等领域，但主要仍是固定架、弹簧、支座等简单应用形式，对材料应用开发不足，缺乏细致的结构设计以及优化应用；武器装备方面主要是在潜艇螺旋桨方面的应用，阻尼合金在遥控武器站上的应用较少；而且对于锰铜基阻尼合金的材料性能研究不够全面，尤其是缺乏阻尼合金应力应变本构关系的研究，这样对于材料应用的结构设计和优化就不准确，应开展对于锰铜基阻尼合金固体本构关系相关研究。

国内对于阻尼合金的本构关系研究主要集中于锌基阻尼合金、铁锰基阻尼合金和形状记忆合金，采用的方法分为理论推导法和试验拟合法两类。理论推导方面有的将阻尼合金视为粘弹性材料从微观角度分析，有的基于现有的经典理论公式进行简化和修正；试验拟合法主要是实测材料在一定温度下的应力与应变关系，而后通过相应曲线拟合本构方程，或者利用DMA(动态粘弹谱仪)测得包含储能模量和损耗模量的应力，以及能量相变角，从而推导出本构方程。

未见有对Mn-Cu阻尼合金本构关系的研究，对于孪晶型阻尼合金本构关系多是形状记忆合金的研究，但将阻尼合金视为粘弹性材料进行分析有一定的共识。

国外阻尼合金本构关系研究主要集中在SMA(形状记忆合金)方面，对于本构方程区分微观层面和宏观层面，分为细观本构方程和唯象本构方程两类。它们通过能量角度分析和试验数据对比改进，对于形状记忆合金的形状记忆效应、超弹性效应和高阻尼效应，都能有较好的表达。但也缺少对于孪晶型锰铜基阻尼合金的本构方程研究，而且对于本构方程的应用形式较简单，缺少应用本构方程对材料结构的优化设计研究。

综上所述，目前针对遥控武器站架座进行基于阻尼合金的振动特性优化，仍存在以下问题：

1、国内外对于遥控武器站射击密集度提高的研究陷入了瓶颈期，迫切需要提出一种新型的改进方式，而阻尼合金属于一种被动控制的方式，在减震降噪方面有很好的应用前景，可将其运用于遥控武器站架座上，与主动控制技术形成互补优势，提高射击密集度。

2、锰铜基阻尼合金在遥控武器站上的应用较少，主要应用于机械设备的固定减振，对材料应用开发不足，而且对于锰铜基阻尼合金的材料性能研究不够全面，尤其是缺乏阻尼合金应力应变本构关系的研究，导致阻尼结构设计和优化产生偏差，应开展对于锰铜基阻尼合金固体本构关系相关研究。

3、由于对锰铜基阻尼合金性能研究的不足，导致尚未形成一种全面的锰铜基阻尼合金设计方法，需要提出关于阻尼合金应用的标准流程，为今后阻尼合金在相关类型的装备或结构设计中提供参考。

发明内容

本发明的目的在于提供一种修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建方法及装置，旨在解决现有技术中的上述问题。

本发明提供一种修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建方法，包括：

采用Maxwell模型基本形式串联1个弹簧壶机构元件模型和1个弹簧元件模型构成初始的分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型，并根据所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建其本构方程；

根据加载阶段试验数据所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的拟合误差确定修正项，并对所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的本构方程进行变相，再加入所述修正项，得到修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的修正本构方程；

确定所述修正本构方程的控制方程和所述控制方程的初始值和边界条件，对所述控制方程进行数值推导，得到所述控制方程的有限差分方程；

根据所述有限差分方程和所述控制方程的初始值和边界条件，采用遗传算法进行多目标优化，确定所述有限差分方程的参数取值和参数之间关系，得到最终的修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型。

本发明提供一种修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建装置，包括：

构建模块，用于采用Maxwell模型基本形式串联1个弹簧壶机构元件模型和1个弹簧元件模型构成初始的分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型，并根据所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建其本构方程；

修正模块，用于根据加载阶段试验数据所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的拟合误差确定修正项，并对所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的本构方程进行变相，再加入所述修正项，得到修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的修正本构方程；

确定推导模块，用于确定所述修正本构方程的控制方程和所述控制方程的初始值和边界条件，对所述控制方程进行数值推导，得到所述控制方程的有限差分方程；

多目标优化模块，用于根据所述有限差分方程和所述控制方程的初始值和边界条件，采用遗传算法进行多目标优化，确定所述有限差分方程的参数取值和参数之间关系，得到最终的修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型。

本发明实施例还提供一种修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建装置，包括：存储器、处理器及存储在所述存储器上并可在所述处理器上运行的计算机程序，所述计算机程序被所述处理器执行时实现上述修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建方法的步骤。

本发明实施例还提供一种计算机可读存储介质，所述计算机可读存储介质上存储有信息传递的实现程序，所述程序被处理器执行时实现上述修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建方法的步骤。

采用本发明实施例，通过计算仿真与试验验证，基于锰铜基高阻尼合金，对遥控武器站架座振动特性进行优化，达到有效降低振动对武器射击产生的影响，最终进一步提高遥控武器站射击密集度，修正分数阶Maxwell模型能较好地解释阻尼合金的非线性本构关系。

上述说明仅是本发明技术方案的概述，为了能够更清楚了解本发明的技术手段，而可依照说明书的内容予以实施，并且为了让本发明的上述和其它目的、特征和优点能够更明显易懂，以下特举本发明的具体实施方式。

附图说明

为了更清楚地说明本发明具体实施方式或现有技术中的技术方案，下面将对具体实施方式或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施方式，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1是本发明实施例的修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建方法的流程图；

图2是本发明实施例的弹簧壶元件原理图；

图3是本发明实施例的M2052阻尼合金分数阶Maxwell模型的示意图；

图4是本发明实施例的能量转换原理图；

图5是本发明实施例的加载阶段应力与时间拟合曲线的示意图；

图6是本发明实施例的加载阶段应力拟合曲线的示意图；

图7是本发明实施例的遗传优化流程图；

图8a是本发明实施例的应变率为0.0025％/s时应变幅值0.05％的试验与拟合滞回曲线对比示意图；

图8b是本发明实施例的应变率为0.0025％/s时应变幅值0.1％的试验与拟合滞回曲线对比示意图；

图8c是本发明实施例的应变率为0.0025％/s时应变幅值0.15％的试验与拟合滞回曲线对比示意图；

图9a是本发明实施例的应变率为0.005％/s时应变幅值0.05％的试验与拟合滞回曲线对比的示意图；

图9b是本发明实施例的应变率为0.005％/s时应变幅值0.1％的试验与拟合滞回曲线对比的示意图；

图9c是本发明实施例的应变率为0.005％/s时应变幅值0.15％的试验与拟合滞回曲线对比的示意图；

图10a是本发明实施例的应变率为0.01％/s时应变幅值0.05％的试验与拟合滞回曲线对比的示意图；

图10b是本发明实施例的应变率为0.01％/s时应变幅值0.1％的试验与拟合滞回曲线对比的示意图；

图10c是本发明实施例的应变率为0.01％/s时应变幅值0.15％的试验与拟合滞回曲线对比的示意图；

图11a是本发明实施例的加载段试验数据与分数阶Maxwell模型在

图11a是本发明实施例的加载段试验数据与分数阶Maxwell模型在

图11b是本发明实施例的加载段试验数据与分数阶Maxwell模型在

图11c是本发明实施例的加载段试验数据与分数阶Maxwell模型在

图11d是本发明实施例的加载段试验数据与分数阶Maxwell模型在

图11e是本发明实施例的加载段试验数据与分数阶Maxwell模型在

图11f是本发明实施例的加载段试验数据与分数阶Maxwell模型在

图11g是本发明实施例的加载段试验数据与分数阶Maxwell模型在

图11h是本发明实施例的加载段试验数据与分数阶Maxwell模型在

图11i是本发明实施例的加载段试验数据与分数阶Maxwell模型在

图12a是本发明实施例的

图12b是本发明实施例的

图12c是本发明实施例的

图12d是本发明实施例的

图12e是本发明实施例的

图12f是本发明实施例的

图12g是本发明实施例的

图12h是本发明实施例的

图12i是本发明实施例的

图13a是本发明实施例的应变率为0.0025％/s应变幅值0.05％时修正分数阶Maxwell模型应力应变拟合与试验曲线对比示意图；

图13b是本发明实施例的应变率为0.0025％/s应变幅值0.1％时修正分数阶Maxwell模型应力应变拟合与试验曲线对比示意图；

图13c是本发明实施例的应变率为0.0025％/s应变幅值0.15％时修正分数阶Maxwell模型应力应变拟合与试验曲线对比示意图；

图14a是本发明实施例的应变率为0.005％/s应变幅值0.05％时修正分数阶Maxwell模型应力应变拟合与试验曲线对比示意图；

图14b是本发明实施例的应变率为0.005％/s应变幅值0.1％时修正分数阶Maxwell模型应力应变拟合与试验曲线对比示意图；

图14c是本发明实施例的应变率为0.005％/s应变幅值0.15％时修正分数阶Maxwell模型应力应变拟合与试验曲线对比示意图；

图15a是本发明实施例的应变速率0.01％/s应变幅值0.05％时修正分数阶Maxwell模型应力应变拟合与试验曲线对比示意图；

图15b是本发明实施例的应变速率0.01％/s应变幅值0.1％时修正分数阶Maxwell模型应力应变拟合与试验曲线对比示意图；

图15c是本发明实施例的应变速率0.01％/s应变幅值0.15％时修正分数阶Maxwell模型应力应变拟合与试验曲线对比示意图；

图16a是本发明实施例的卸载段分数阶Maxwell模型误差曲线的示意图；

图16b是本发明实施例的卸载修正项拟合曲线的示意图；

图17是本发明实施例的应变速率0.01％/s应变幅值0.15％时卸载修正分数阶Maxwell模型应力应变拟合与试验曲线对比的示意图；

图18是本发明实施例的不同条件下的α值和均值α曲线拟合的示意图；

图19是本发明实施例的不同条件下的C值和均值C曲线拟合的示意图；

图20是本发明实施例的不同条件下的a值和均值a曲线拟合的示意图；

图21是本发明实施例的不同条件下的b值和均值b曲线拟合的示意图；

图22是本发明实施例的不同条件下的c值和均值c曲线拟合的示意图；

图23是本发明实施例的经典Maxwell模型示意图；

图24是本发明实施例的Maxwell三参数模型示意图；

图25是本发明实施例的Maxwell四参数模型示意图；

图26是本发明实施例的不同Maxwell模型对试验数据拟合效果对比图；

图27是本发明装置实施例一的修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建装置的示意图；

图28是本发明装置实施例二的修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建装置的示意图。

具体实施方式

下面将结合实施例对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

在本发明的描述中，需要理解的是，术语“中心”、“纵向”、“横向”、“长度”、“宽度”、“厚度”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”、“内”、“外”、“顺时针”、“逆时针”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。

此外，术语“第一”、“第二”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括一个或者更多个所述特征。在本发明的描述中，“多个”的含义是两个或两个以上，除非另有明确具体的限定。此外，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

方法实施例

根据本发明实施例，提供了一种修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建方法，图1是本发明实施例的修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建方法的流程图，如图1所示，根据本发明实施例的修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建方法具体包括：

步骤101，采用Maxwell模型基本形式串联1个弹簧壶机构元件模型和1个弹簧元件模型构成初始的分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型，并根据所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建其本构方程；

具体地，根据所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建其本构方程具体包括：

根据所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建其如公式1所示的本构方程：

其中，σ代表应力，ε代表应变，D

步骤102，根据加载阶段试验数据所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的拟合误差确定修正项，并对所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的本构方程进行变相，再加入所述修正项，得到修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的修正本构方程；

具体地，采用一级正弦函数y＝asin(bx+c)拟合，得出如公式2所示的修正项：

Δ＝asin(bε+c) 公式2；

其中，a、b、c为三项修正系数；

对所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的本构方程进行变项，令所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的应力为：

加入修正项Δ得到修正分数阶Maxwell模型本构方程：

步骤103，确定所述修正本构方程的控制方程和所述控制方程的初始值和边界条件，对所述控制方程进行数值推导，得到所述控制方程的有限差分方程；

具体地，根据公式5确定所述分本构方程的控制方程：

根据公式6确定所述控制方程的初始值和边界条件：

对所述控制方程进行数值推导，得到所述控制方程的如公式7所示的有限差分方程：

其中，k＝1:m,i＝0:k-1,j＝2:k,h

步骤104，根据所述有限差分方程和所述控制方程的初始值和边界条件，采用遗传算法进行多目标优化，确定所述有限差分方程的参数取值和参数之间关系，得到最终的修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型。

具体地，将所述有限差分方程和所述控制方程的初始值和边界条件代入Matlab软件中，通过所述Matlab软件自带GA工具箱，设置如公式8所示的目标函数、设计变量及约束条件，进行多目标优化，确定所述有限差分方程的参数取值和参数之间关系如公式9-13所示，得到最终的修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型；

其中，y

α＝0.02123-34.9088ε+15832.7862×ε

其中，a、b、c为修正项的三项修正系数。

优选地，上述方法进一步包括：

对所述修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型进行数据拟合：首先对修正项中的a、b、c三项修正系数进行拟合，然后将修正项带入修正本构方程，得到修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的拟合曲线，判断所述参数取值和参数之间的关系是否符合要求，在不符合要求的情况下，对所述参数取值和参数之间的关系进行相应调整。

以下结合附图，对本发明实施例的上述技术方案进行详细说明。

分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型建立：

分数阶粘弹性模型的基本构件是——弹簧壶元件，是一种介于代表纯弹性的弹簧和纯粘性的牛顿黏壶之间行为的分数阶模型,其本构关系可写为：

其中σ代表应力，ε代表应变，D

其中，

准态特性是动态过程的数值度量，非简单的材料性质，其与弹性模量、应力、时间、粘度等物理量有关，也与分数阶指数α等数学量有关(如图2所示)：若α＝0时，弹簧壶元件可简化为弹簧元件，表达式变为σ＝Eε，κ＝E表示弹簧应力与应变的关系；若α＝1时，弹簧壶元件简化为粘壶元件，表达式为

采用Maxwell模型基本形式串联1个弹簧壶机构元件(κ,α)和1个弹簧元件E即构成M2052阻尼合金的分数阶Maxwell模型(如图3所示)，(κ,α)表示弹簧壶的机械元件，α为分数阶次，并且0≤α≤1；

由Maxwell模型关系可得：

σ

ε

将式(1)式代入式(3)、式(4)得：

即分数阶Maxwell模型的本构方程为：

控制方程：

从能量守恒角度来说，在恒温绝热情况下，外力所作功转变为应变能，应该等于弹性势能加内能，而内能正是由于孪晶组织的驰豫运动和应力马氏体与母相奥氏体的界面滑移消耗的能量构成，而目前一般认为马氏体与奥氏体、马氏体与马氏体之间的摩擦能量都较小暂且可以忽略，所以假设应变能为弹性势能和孪晶能之和。

W

能量转换原理如图4所示，σ

由J

带入式(7)得：

上式即为M2052阻尼合金分数阶Maxwell模型的控制方程。

控制方程中当t≤0，则σ(t)＝0,ε(t)＝0；当t＞0时，σ(t)和ε(t)在加载段为单调递增，卸载段为单调递减。因此，控制方程的初始值和边界条件如式(9)所示：

数值推导：

对控制方程(8)两端同时对时间求导得：

为了对上式求解利用有限差分方法对分数阶导数进行数值离散。

定义t

式中采用有限差分法

其中

又因为差值的思想，t

将式(13)、(14)带入(12)，令j＝k-i,则上式换元可得：

此时，可知高阶项中系数r＝2-h；并令h

而h

当0＜α＜1时，1-α＞0，可令h＝1-α，代入上式：

其中h

将式(13)、(19)代入(11)中省去高阶误差项可得：本构方程得有限差分方程：

数值模型仿真分析：

1、模型参数分析

将基本分数阶Maxwell数值模型和边界条件代入Matlab软件中，结合试验数据确定时间步长Δt＝0.1s，选取曲线较规律的应变率为0.0025％/s，应变幅值为0.1％时的数据为基本模型参数，σ(0)＝4.5901MPa,ε(0)＝0.00903％，分析α和κ取值对于模型的影响。

α为分数阶系数，其范围为0＜α＜1，准态特性κ的范围可由式(2)得知由E和松弛时间τ决定，虽暂未找到关于M2052合金松弛时间的数据(后续可进行松弛试验测得)，但当α＝0时κ取最小值，可令κ＝C*10^9则其中68.5＜C＜∞。为了便于分析，选取α＝0.001,0.01,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9，C＝100,500,2500,125000。

当C＝100，α＝0.001,0.01,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9时，应变率为0.0025％/s，应变幅值为0.1％的加载阶段应力与时间拟合曲线如图5所示。

从图5中可以看出，基本Maxwell可以模拟出加载段凸函数的非线性曲线，而且随着α值的增大，曲率越来越高，但应力最大值越低。为了观察κ值的影响就选在曲率最大的α值处进行拟合。

当α＝0.9，C＝100,500,2500,125000时，应变率为0.0025％/s，应变幅值为0.1％的加载阶段应力与时间拟合曲线如图6所示。

从图6中可以看出，κ值的增大将降低曲线的曲率，但能显著提高应力随时间迭代的增加值，故α和κ之间存在一个最优解，通过上述处理得到了确定的参数取值和参数之间得关系。由于α和κ之间存在一个最优解，因此下步对试验数据的拟合问题实际上是一个优化问题。

2、遗传算法设置

由于控制方程(20)属于以时间为迭代变量的差分迭代形式，无法使用最小二乘法或者线性回归法，可将拟合问题转换为多目标寻优问题，采用Matlab自带GA工具箱，编写目标函数、设计变量及约束条件，进行多目标优化。具体优化流程如图7所示。

其中，目标函数为：

其中，y

种群个数：200，精英个数：10，交叉变异概率：0.85，结束条件是两次个体最优适应度误差小于1*10-15。

试验数据拟合：

以常应变率单轴循环拉伸试验数据的加载段为基础，采用遗传算法，分别对应3种应变率和3种应变幅值共9组数据，拟合出α和C值而后代入卸载程序得到加卸载循环拉伸曲线。

对分数阶Maxwell模型拟合结果如图8至图10所示。

从图8至图10可以看出分数阶Maxwell模型对加载段拟合较好，但是卸载段偏差较大，加卸载曲线重合，不能体现滞回环，原因是加载段拟合曲线的最大应力值较小。表1为各组数据对应的分数阶Maxwell模型拟合系数。

表1分数阶Maxwell模型拟合系数

从表1中可看出，每次拟合迭代次数都较大保证了寻优的可信性，避免陷入局部最优，最佳适应度值fval范围0.79—3.98，其代表拟合曲线与试验数据的接近程度越小越好，部分组别的值仍较大。1-9组的α和C值均不相同，这符合阻尼合金率相关性和振幅相关性，在同一应变率下，随应变幅值的增大，α和C的组合也使拟合曲线斜率变大。α值范围为5.1945*E

从表1中可看出，每次拟合迭代次数都较大保证了寻优的可信性，避免陷入局部最优，最佳适应度值fval范围0.79—3.98，其代表拟合曲线与试验数据的接近程度越小越好，部分组别的值仍较大。1-9组的和C值均不相同，这符合阻尼合金率相关性和振幅相关性，在同一应变率下，随应变幅值的增大，和C的组合也使拟合曲线斜率变大。值范围为—0.0125普遍较小，而C值则较大，范围在7811.4—29563，结合和C值变化对数值模型的影响说明，试验加载段应力值太大，为了达到均方差最小，分数阶系数较小，准态系数较大，导致拟合曲线非线性较弱，不能符合阻尼合金非线性的特性，为此需要对分数阶Maxwell模型进行修正。但基本模型的拟合曲线都集中在试验滞回环对称线附近，说明模型拟合的数值范围基本与实际接近，可在工程应用或者精度要求不高时作为近似曲线或等效曲线。

修正分数阶Maxwell模型

1、修正项数值模型建立

发现采用分数阶Maxwell模型不能完整模拟制振合金的滞回曲线，主要原因是由于拟合曲线最大应力值较小，这是因为忽略了其他的马氏体与奥氏体、马氏体与马氏体之间的摩擦，从而导致产生的误差项，因此根据常应变率单轴循环拉伸试验与分数阶Maxwell模型拟合数据的误差值，添加修正项。图11a-i为加载段常应变率单轴循环拉伸试验数据与分数阶Maxwell模型拟合曲线的误差图。如图11所示，根据加载阶段试验数据与分数阶Maxwell模型拟合误差图可以看出曲线基本呈正弦波峰状，故采用一级正弦函数y＝asin(bx+c)拟合，得出修正项：

Δ＝asin(bε+c) (22)

则对原分数阶Maxwell本构方程公式(6)变项，令分数阶Maxwell模型的应力为：

再加入修正项Δ便可得修正分数阶Maxwell模型本构方程为：

拟合数据仿真分析：

首先根据式(22)在matlab中对a、b、c三项修正系数进行拟合，然后将Δ带入式(24)，得到修正分数阶Maxwell模型的拟合曲线。修正项拟合图如图12所示，修正项的拟合系数及评估指标如表2所示。

表2修正项的拟合系数及评估指标

从图12和表2中可以看出修正项对误差值的拟合情况较好，基本可以反映误差值的变化，RMSE(均方根)值均小于0.74，R2决定系数(coefficient of determination)值有部分较小，是由于拟合样本的点数较多导致。图13-15为修正Maxwell模型对试验数据的拟合结果。

从图13至图15可以看出修正分数阶Maxwell模型对试验数据拟合较好，能清楚展现阻尼合金的非线性本构关系，滞回面积明显，且拟合情况较试验数据更平滑，便于分析应用，修正拟合的加载段与卸载段应力应变曲线基本关于端点连线相互对称。但在应变率0.01％/s，应变幅值0.15％时的应力应变拟合曲线，滞回面积较小，加载段拟合情况较好，但卸载段偏差较大，原因是试验采集数据的误差。表3为各组数据对应的修正分数阶Maxwell模型评估指标。

表3修正分数阶Maxwell模型评估指标

从表3中可以看出修正分数阶Maxwell模型对试验数据的拟合效果较好，决定系数均能达到0.99以上，但第9组的均方差和方差较大。从图15来看拟合效果也不是很好，但从试验滞回曲线看，滞回环是比较明显的，只是卸载段与加载段曲线对称性发生了变化，从图15中的(c)图来看，按照加载段拟合出的曲线模型曲线虽然与试验加载段拟合较好但偏差的主要是卸载段，现按照卸载段进行拟合修正，先由分数阶Maxwell的系数可算出基本卸载曲线，再与试验卸载段进行修正项拟合。卸载误差曲线和卸载修正项拟合曲线如图16所示。

卸载修正项的系数及评估指标：a＝4.886，b＝17.34，c＝0.07346，方差SSE＝85.89,决定系数为R2＝0.7703，均方根RMSE＝0.6966。按照卸载段拟合的修正分数阶Maxwell模型曲线与试验对比图如图17所示。

对图17中的拟合曲线与试验数据进行对比得出：MSE＝1.363，SSE＝490.673，R2＝0.9990，从图中也可以看出效果还优于原加载修正分数阶拟合，造成此原因应该是由于试验采集时产生的误差，导致卸载段的非线性更好，但修正分数阶Maxwell对于该应变率及应变幅值下的拟合是可行的。

修正分数阶Maxwell本构模型参数表达式确定

由于修正分数阶Maxwell本构模型的参数需要根据每次加载条件的不同来确定，因此该模型的应用受到了限制。为了提高模型的可用性，避免必须进行相应的循环拉伸试验才能确定参数这一缺点，通过计算不同应变率下相同应变幅值下各参数的平均值，消除了应变率的影响，得到了应变幅值与各参数的变化规律。提出对每个参数关于应变的近似表达式，从而可以确定修正分数阶Maxwell本构模型的参数，使模型在不能进行特定实验的情况下保持较高的精度。

首先要评估用参数的平均值替换原始参数的影响。根据不同应变率和应变幅值，对相同应变幅值不同应变率下的参数取平均值，如表4所示。这样可以使应变率对模型参数的影响最小，得到仅与应变有关的模型参数的函数。

表4相同应变振幅下不同应变速率模型参数的平均值

为了评价各参数的平均值对模型拟合精度的影响，用平均值即表5代替原始模型参数，代入MATLAB。并将结果与常应变率下单轴循环拉伸试验数据和原模型参数拟合曲线进行比较，结果如表1-116所示。

表5不同加载条件平均后的模型参数

表6平均参数拟合曲线与试验曲线和原始模型参数拟合曲线的误差

由表6可以看出，平均参数拟合相对于试验和原模型参数拟合的误差均在可接受的范围内。平均参数拟合曲线与试验数据比较的确定系数均在0.9954以上，平均参数拟合曲线与原模型参数拟合曲线的确定系数均在0.9996以上。因此，可以忽略应变率的影响，用均值参数代替原模型参数。然后根据平均参数与应变的关系，提出各参数的拟合函数，如图18至22所示。

各参数与应变关系拟合函数如表7所示。

表7各参数的拟合函数

由图18至图22可以看出，表7中的方程对于各参数随应变的变化都有较好的拟合结果。所有的参数函数都可以表示成指数函数，除了。因此，可以使用表7中的函数来计算弹性范围内其他加载条件下模型参数的值，而不用等应变率拉伸试验，扩展了修正分数阶Maxwell模型的实用性。

修正分数阶Maxwell模型拟合性能对比

为了说明修正分数阶Maxwell模型的适用性，对修正分数阶Maxwell模型与其他模型的拟合性能进行了比较。选取0.005％/s和0.1％的试验应力-应变曲线作为拟合标准。

根据Boltzmann叠加原理，材料的应力可以用式(25)表示。

其中ε

对于经典Maxwell模型(Maxwell双参数模型)，如图23所示。

其松弛模量表达式为：

其中E1是弹性模量，

Maxwell三参数模型如图24所示。

其松弛模量表达式为：

其中E1和E2是弹性模量，

Maxwell四参数模型如图25所示。

其松弛模量的表达式为：

其中E1和E2为弹性模量,

然后，采用最小二乘逼近法，确定了Maxwell二参数、三参数和四参数最优模型。Maxwell模型的参数和评价指标见表8。图26为不同Maxwell模型对试验数据拟合效果对比图。

表8不同Maxwell模型的参数和拟合误差

从图26中可以看出，经典的Maxwell模型、Maxwell三参数模型和Maxwell四参数模型都不适合描述这种非线性弹性加载过程。修正的分数阶Maxwell模型能较好地拟合试验数据。此外，由于Maxwell三参数模型的E1太小，几乎等于零，导致Maxwell二参数模型的拟合曲线接近于Maxwell三参数模型，如图26和表8所示。验证了修正分数阶Maxwell模型能较好地解释阻尼合金的非线性本构关系。修正分数阶Maxwell模型可以作为工程应用的概略本构模型使用。

装置实施例一

根据本发明实施例，提供了一种修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建装置，图27是本发明装置实施例一的修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建装置的示意图，如图27所示，根据本发明实施例的修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建装置具体包括：

构建模块270，用于采用Maxwell模型基本形式串联1个弹簧壶机构元件模型和1个弹簧元件模型构成初始的分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型，并根据所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建其本构方程；所述构建模块270具体用于：

根据所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建其如公式1所示的本构方程：

其中，σ代表应力，ε代表应变，D

修正模块272，用于根据加载阶段试验数据所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的拟合误差确定修正项，并对所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的本构方程进行变相，再加入所述修正项，得到修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的修正本构方程；所述修正模块272具体用于:

采用一级正弦函数y＝asin(bx+c)拟合，得出如公式2所示的修正项：

Δ＝asin(bε+c) 公式2；

其中，a、b、c为三项修正系数；

对所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的本构方程进行变项，令所述分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的应力为：

加入修正项Δ得到修正分数阶Maxwell模型本构方程：

确定推导模块274，用于确定所述修正本构方程的控制方程和所述控制方程的初始值和边界条件，对所述控制方程进行数值推导，得到所述控制方程的有限差分方程；所述确定推导模块274具体用于：

根据公式5确定所述分本构方程的控制方程：

根据公式6确定所述控制方程的初始值和边界条件：

对所述控制方程进行数值推导，得到所述控制方程的如公式7所示的有限差分方程：

其中，k＝1:m,i＝0:k-1,j＝2:k,h

多目标优化模块276，用于根据所述有限差分方程和所述控制方程的初始值和边界条件，采用遗传算法进行多目标优化，确定所述有限差分方程的参数取值和参数之间关系，得到最终的修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型。所述多目标优化模块276具体用于：

将所述有限差分方程和所述控制方程的初始值和边界条件代入Matlab软件中，通过所述Matlab软件自带GA工具箱，设置如公式8所示的目标函数、设计变量及约束条件，进行多目标优化，确定所述有限差分方程的参数取值和参数之间关系如公式9-13所示，得到最终的修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型；

其中，y

α＝0.02123-34.9088ε+15832.7862×ε

其中，a、b、c为修正项的三项修正系数。

上述装置进一步包括：

拟合模块，用于对所述修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型进行数据拟合：首先对修正项中的a、b、c三项修正系数进行拟合，然后将修正项带入修正本构方程，得到修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型的拟合曲线，判断所述参数取值和参数之间的关系是否符合要求，在不符合要求的情况下，对所述参数取值和参数之间的关系进行相应调整；

本发明实施例是与上述方法实施例对应的系统实施例，各个模块的具体操作可以参照方法实施例的描述进行理解，在此不再赘述。

装置实施例二

本发明实施例提供一种修正分数阶Maxwell锰铜基阻尼合金本构模型构建装置，如图28所示，包括：存储器280、处理器282及存储在所述存储器280上并可在所述处理282上运行的计算机程序，所述计算机程序被所述处理器282执行时实现如方法实施例中所述的步骤。

装置实施例三

本发明实施例提供一种计算机可读存储介质，所述计算机可读存储介质上存储有信息传输的实现程序，所述程序被处理器282执行时实现如方法实施例中所述的步骤。

本实施例所述计算机可读存储介质包括但不限于为：ROM、RAM、磁盘或光盘等。

显然，本领域的技术人员应该明白，上述的本发明的各模块或各步骤可以用通用的计算装置来实现，它们可以集中在单个的计算装置上，或者分布在多个计算装置所组成的网络上，可选地，它们可以用计算装置可执行的程序代码来实现，从而，可以将它们存储在存储装置中由计算装置来执行，并且在某些情况下，可以以不同于此处的顺序执行所示出或描述的步骤，或者将它们分别制作成各个集成电路模块，或者将它们中的多个模块或步骤制作成单个集成电路模块来实现。这样，本发明不限制于任何特定的硬件和软件结合。

最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。