改进的超导电磁模型的构建方法

技术领域

本发明涉及一种改进的超导电磁模型的构建方法。

背景技术

与超导能隙有关的晶格-电子系统的建模，一直是一个焦点。好的建模方法应该是：作用过程与基本方程的关系尽可能直接明了，作用过程能够用相互作用矩阵表 征，物理图象清晰合理，表达尽量简单明了。

目前的超导电磁方程，基本上属于唯象理论。

发明内容

根据本发明的一个方面，提供了迈斯纳效应相关的电磁模型的构建方法，其特 征在于包括：

把持续电流j

其中A＝A

其中，e

所述正常区是超导系统的外层正常区和涡旋区中的至少一种。

附图说明

图1示意显示了正六边形横截面的超导涡旋的几何关系。

具体实施方式

1.电磁方程的建立

1.1.电流的表征

在有外磁场的情况下，超导体通过形成表层电流，表层电流产生的磁场在超导态的空间范围里与外磁场抵消，从而表现出了完全的抗磁性，即迈斯纳效应。这种抵 消是完全抵消。“表层电流”是超导区之外的表层正常区里形成的电流。这个表层正 常区的厚度对应所谓的“穿透深度”。

穿透深度的范围是不是正常区？这似乎没有肯定的答案；有的模型里明确认为它是正常区，有些则不明确。“在正常态的表层存在持续电流”成了一个矛盾。另一个 问题是，如果把磁场视为从表面开始指数衰减的，是否意味着有一部分磁场进入了 超导区？在我们的模型里，磁场只存在于表层正常区(或者涡旋)里，而不会进入 超导区。超导区里不能有磁场。

晶体中一个电子(电荷-e)的电流表示为[2]：

其中m是电子质量。把电子的布洛赫波函数φ＝e

(2)式与唯象理论[1]的公式相比，但多出了

其中δ与V

1.2.晶体的电磁方程

按(2)式，在晶体的两个相对表面之间的间距2L足够大的时候(如L＞＞α)， 可以把外层L-d<|x|≤L中的电流表示成：

其中，e

A(x,y,z)＝A

按照麦克斯韦方程：

或/>

(6’)式变为：

把(4)带入(7)，得：

(8)是综合了麦克斯韦方程和量子力学理论的电磁方程。

1.3第一级迭代解

作为周期函数u

(常数+周期余项)

其中：

且

的周期余项。

类似地，采取表示：

其中Λ是常数且κ是周期余项。这样公式(8)被表示为：

公式(9)可迭代求解，其第一级迭代方程是：

/>

其通解为：

其中Ξ＝η

B|

其中2B

A

我们得到：

和

进而得到：

和

在此要注意的是，在本场景中载流子项Λ对于边界条件(12)的满足是没有贡 献的，即：样品中的载流子对屏蔽电流和屏蔽磁场实际上没有贡献。对于Λ＝0,L＞＞d 和L＞＞10

j

B(L)≈-η(L-d)B

因此，对于Ξ＝η

1.3.下一级的迭代解

可把

或

其中ξ是

其中k

4.涡旋态

4.1.涡旋态的电流的表征

超导体通过在外围形成厚度d的正常区并在正常区里产生电流，阻止了磁场进 入超导区。但按(15)式，过大的磁场B

涡旋区的形状是柱形的。它一般应该是正六边形的。柱坐标下，关于r的二次偏 微商会造成麻烦，而且r＝0会成为一个奇点，使得方程难以求解，且在r＝0磁场B 没有定义。但实际上r＝0并不是一个特殊的点，周期场在那里依然可以正常延续； 但在r＝0电流是反向的。另外，沿着涡旋-超导区界面的周向的波矢k并不能用柱坐 标的θ方向的基矢表征。因此，采用柱坐标很难表征涡旋。

4.2.涡旋态的磁通量的计算

考虑如图1所示的六边形的涡旋；沿x轴相对的两个边(界面)x＝±R。边长是

涡旋的电流表征的要点，是流场的分布模型。对涡旋模型，最简单的流场模型 是矩形流场，即在x＝±R的两条对边的四个端点±R,

对于(11)和(13)式的通解，可把第一个边界条件确定为：

B(R)＝0(18),

即表示涡旋的磁场不能进入到周围的超导区中。第二个边界条件的确定有点麻烦。 但考虑到涡旋的磁场应该是中心对称的，所以可以把边界条件取为：

把(18)、(18’)和(13)代入方程(11)，得到：

和

进而得到：

和

根据以上至方程(9)的讨论，应该有：

其中

其中

可见，一个涡旋具有接近hc/e＝2Φ

4.3.涡旋与外层正常区电流的相互独立性

需要对涡旋的磁矢势与周围区域的磁矢势的分布关系进行一些解释。在上述的采用直角坐标系的处理中，由于涡旋里的磁场比没有涡旋时该区域的磁场更大，所 以表现为一个斜率更大的磁矢势分布，所以总体上并没有降低磁场的幅度。但磁矢 势的分布的表征并不是唯一的，且(19)式的涡旋磁场与柱坐标下的如下磁场对应：

因为(19)式和(22)式都在各自的坐标系下给出如下形式的磁场：

(22)式的涡旋磁场将在涡旋边界处形成一个基本上中心对称的磁矢势分布； 这样，总的磁场的磁矢势的梯度就被减小了。这个梯度减小之后的磁矢势分布再由 外层边界的正常区电流的磁场进行抵消。A在r＝0是奇异的，某些偏微商在该点不 存在，斯托克斯公式不适用于该界面。所以不能用环路积分的方法去确定涡旋的磁 通量。对于正六边形截面的涡流，更准确的流场应该是扇形分布而不是流场的矩形 分布。对于扇形分布，可以将扇形沿x方向进行分区，将载流子分布到每个分区区 域，然后将所有分区区域的通量相加。这种处理不应导致上述估计通量的数量级发 生变化。

5.总结

本发明利用晶体中电流的波函数流场表示，建立了结合麦克斯韦理论和布洛赫定理的电磁方程。方程的求解直接取决于边界条件的选择。通过研究方程的解，本 发明揭示了导致系统参数(如外部磁场和样品厚度)受限的可能因素。关于涡旋， 本发明建立了通量的近似表达式，并且证明了涡旋具有接近于磁通量子 Φ

参考文献：

[1]黄昆，《固体物理学》201-205页，人民教育出版社出版，统一书号13012.0220，1966年六 月出版，1979年1月第一次印刷。

[2]J.Bardeen,L.N.Cooper,and J.R.Schrieffer,Phys.Rev.108,1175(1957).

[3]陆栋.表面物理讲座第四讲表面电子态[J].物理,1981,10(7).

[4]黄昆《固体物理学》4-8节，高等教育出版社1988.10.ISBN 978-7-04-001025-1)。

[5]Michael Tinkham:Introduction to Superconductivity,Second Edition,McGraw-Hill,Inc.,1996。

[6]Geim,A.,Dubonos,S.,Grigorieva,I.et al.Non-quantized penetration ofmagnetic field in the vortex state of superconductors.Nature 407,55–57(2000).