一种基于力电耦合效应的压电复合材料应力分析方法

技术领域

本发明属于直升机旋翼结构设计领域，涉及一种基于力电耦合效应的压电复合材料应力分析方法。

背景技术

可变形智能旋翼能够根据任务需求，实时感知直升机的飞行状态、系统响应及外界环境，并将状态反馈至智能控制系统进行优化控制与自主调整。通过基于智能材料的驱动机构使旋翼桨叶外形产生全局或局部的变形，大幅提升旋翼性能、增强稳定性、降低直升机振动与噪声水平，使直升机始终处于最优的状态。智能压电复合材料在外部电场的作用下，压电复合材料会产生和外部电场强度、方向相关的应变，将电能转化为机械能，因此可用作各类智能结构的驱动器。用作智能旋翼结构主动驱动器的压电复合材料工作时受到电场和力场的耦合作用，然而压电复合材料中的压电层通常刚度和强度较弱，在力电耦合作用下极易发生表面压电层与其他铺设层自由边或孔边处的层间应力集中，其结果将导致结构脱层破坏，从而引起智能旋翼结构中应力场和电场分布的改变，并对结构整体的静动力学行为产生影响。

发明内容：

本发明的目的是：为实现压电智能复合材料层合结构所具有的功能，需要精确预计其在力电耦合效应下的应力场情况。为此，针对压电复合材料桨在智能旋翼设计中的强度问题，提供一种基于力电耦合效应整体－局部高阶理论的压电复合材料应力分析方法，对于智能旋翼压电驱动结构的强度设计具有重要应用价值。

本发明技术方案：一种基于力电耦合效应的压电复合材料应力分析方法，具体步骤如下：

步骤一、根据复合材料组分中增强体和基体的材料参数，建立含压电层复合材料单层板的等效弹性模量；

步骤二、将一阶剪切变形理论和锯齿函数相结合，确定含压电层复合材料整体－局部高阶理论的位移函数，为步骤三计算提供所需的含压电层复合材料位移函数；

步骤三、基于步骤二所确定的位移函数，计算基于力电耦合效应的层间横向剪切应力；

步骤四、基于步骤三确定的基于力电耦合效应的层间横向剪切应力，采用二维梁单元推导得到含压电层的复合材料单元的单元刚度矩阵。

所述步骤一计算含压电层复合材料单层板的等效弹性模量，具体为：含压电层复合材料梁结构包含复合材料层和压电驱动层，其中梁的长度为a，复合材料层和压电驱动层的厚度分别为h和h

/>

其中

式(1)和式(2)中上角标G和m分别表示复合材料组分中的增强体和基体，其中a

所述含压电层的复合材料密度和泊松比表示为

其中

所述步骤二确定含压电层复合材料整体－局部高阶理论的位移函数，具体为：提出的整体－局部高阶理论位移函数是将一阶剪切变形理论和锯齿函数相结合而成，该位移函数表示为：

公式(4)中的角标k代表层合结构的第k层，u

根据公式(4)给出的位移函数，横向剪切应变表示为

其中，

根据弹性力学应力应变关系，可得到含压电层的复合材料第k层层间横向剪切应力：

/>

根据复合材料层间横向剪切应力连续的边界条件，有

公式(9)给出了N－1层的层间轴向位移边界条件，对于底层的下表面和顶层的上表面满足自由边界条件，其表达式为

其中角标t和b分别表示含压电层复合材料梁的顶层和底层。)

根据弹性力学几何方程结合给定的位移场，得到含压电层的复合材料应变：

其中，

根据弹性力学应力应变关系，得到复合材料层的应力分量表示为

其中

所述压电驱动层应力分量表示为

其中

其中ξ为静电势，可表示为

式(17)中φ(x)表示所施加电场的静电势沿轴向的分布函数，Vt和hp表示所施加的电压和压电层的厚度。

所述锯齿函数为：

其中

所述步骤三根据位移函数计算基于力电耦合效应的层间横向剪切应力方法为：对于含压电层的复合材料梁，基于力电耦合效应的层间横向剪切应力需要满足3维平衡方程，含压电层的复合材料梁结构忽略体力的影响，将3维平衡方程简化降阶为2维平衡方程：

所述基于力电耦合效应的层间横向剪切应力由公式(18)移项积分得到

将公式(11)－公式(17)代入公式(19)，有

其中，

根据边界条件

其中，

其中，

所述二阶位移导数

其中，

将公式(27)代入公式(23)得到

所述步骤四采用二维梁单元推导得到含压电层的复合材料单元的单元刚度矩阵的方法为：梁单元位移变量可离散为：

其中，N

通过将公式(11)－公式(13)进行离散处理，离散后的应变向量表示为

其中，u

根据虚功原理，有

其中，W

所述单元刚度矩阵表达式由公式(11)－公式(17)代入式(35)得到：

/>

其中Q是材料常数矩阵，B是由式(34)给出的应变矩阵，

其中，

根据单元平衡方程，单元节点位移向量d

其中F

其中，

将单元刚度矩阵进行组装，含压电层复合材料梁结构的整体平衡方程表示为

Kd＝F+F

其中，K为刚度矩阵；F和F

本发明技术效果：

本发明考虑了电场对含压电层复合材料的影响，基于二维梁单元推导出了能够计算层间剪切应力的有限元计算公式，能够精确描述含压电层复合材料层板在力电耦合作用下的层间剪切变形，解决了智能旋翼结构强度设计中的压电复合材料层间应力分析的难题。本发明提出的于力电耦合效应整体－局部高阶理论的压电复合材料应力分析方法能够大大简化传统结构有限元分析方法的计算量，极大提升计算效率，具备很高的工程应用价值。

附图说明

图1是含压电层复合材料桨叶坐标系和截面几何外形示意图；图中的x和z为截面坐标系的坐标轴，a为含压电层的复合材料梁长度，h为含压电层的复合材料梁高度，h

图2为梁单元局部坐标示意图，图中的x和z为单元坐标系的坐标轴；x

具体实施方式

一种基于力电耦合效应的压电复合材料应力分析方法，具体步骤如下：

步骤一、计算含压电层复合材料的等效弹性模量

含压电层复合材料梁结构包含复合材料层和压电驱动层如图1所示，其中梁的长度为a，复合材料层和压电驱动层的厚度分别为h和h

其中

式(1)和式(2)中下角标G和m分别表示复合材料组分中的增强体和基体，其中a

含压电层的复合材料密度和泊松比可表示为

其中

步骤二、确定含压电层复合材料整体－局部高阶理论的位移场

本发明专利提出的整体－局部高阶理论位移函数是将一阶剪切变形理论和锯齿函数相结合而成，该位移函数可表示为

/>

式(4)中的角标k代表层合结构的第k层，u

式(4)中的锯齿函数为

其中

根据公式(4)给出的位移场，横向剪切应变可表示为

其中，

根据弹性力学应力应变关系，可得到含压电层的复合材料第k层层间横向剪切应力：

根据层间应力连续的边界条件，有

公式(9)给出了N－1层的层间轴向位移边界条件，对于底层的下表面和顶层的上表面满足自由边界条件，其表达式为

其中角标t和b分别表示含压电层复合材料梁的顶层和底层。

根据弹性力学几何方程结合给定的位移场，得到含压电层的复合材料应变：

其中，

根据弹性力学应力应变关系，可得到复合材料层的应力－应变关系为

其中

对于压电驱动层，考虑压电变形的影响，应力分量可表示为

其中

其中ξ为静电势，可表示为

式(17)中φ(x)表示所施加电场的静电势沿轴向的分布函数，Vt和hp表示所施加的电压和压电层的厚度。

步骤三、根据位移函数计算基于力电耦合效应的层间横向剪切应力

对于含压电层的复合材料梁，直接采用公式(8)计算得到的层间横向剪切应力忽略了力电耦合效应计算精度低，基于力电耦合效应的层间横向剪切应力需要满足3维平衡方程，含压电层的复合材料梁结构忽略体力的影响，将3维平衡方程简化降阶为2维平衡方程：

考虑到公式(18)中的层间横向剪应力是关于z坐标轴的，对式(18)移项积分得到

将式(11)－式(17)代入式(19)，有

其中，

根据边界条件

/>

其中，

其中，

式(23)中的二阶位移导数为剪应力方程的求解带来很大的困难，利用广义变分原理可以消除面内位移参数的高阶量。通过HW广义变分原理，式(25)中的二阶位移导数

其中，

将式(27)代入式(23)得到

步骤四、采用二维梁单元推导得到含压电层的复合材料单元的单元刚度矩阵

梁单元位移变量可离散为：

其中，N

通过将式(11)－式(13)进行离散处理，离散后的应变向量可表示为

其中，u

/>

根据虚功原理，有

其中，W

将式(11)－式(17)代入式(35)可得到单元刚度矩阵：

其中Q是材料常数矩阵，B是由式(34)给出的应变矩阵，

其中，

根据单元平衡方程，单元节点位移向量d

其中F

其中，

将单元刚度矩阵进行组装，含压电层复合材料梁结构的整体平衡方程可表示为

Kd＝F+F

其中，K为刚度矩阵；F和F