确定多个线性矩阵方程的解

技术领域

本公开的示例涉及在至少一个计算设备(例如，经典计算设备、或经典计算设备和量子计算设备)上执行的确定满足

背景技术

计算流体动力学(CFD)的使用的范围是从设计膝上型计算机上的小部件到使用经典超级计算机来模拟通过燃气涡轮的流量。当设计大多数燃气涡轮部件时利用CFD，其中其可用于例如对高性能空气动力学进行建模和/或对燃烧及其副产物进行建模。考虑空气动力学作为示例，CFD允许以子系统级优化转子和定子叶片的形状，从而使得能够在压缩机的效率和压力比方面实现目标性能。像这样的CFD过程通常以设计的许多迭代为特征，并且因此通常消耗大量的超级计算资源。针对应力和振动的有限元分析(FEA)也是创建此类设计的关键部分，并且也以类似方式操作。

典型地，诸如这些的CFD和FEA问题被迭代地求解以便获得问题的最优解并且因此获得最优部件设计。

虽然支配CFD和FEA的方程是高度非线性的，但用于求解CFD和FEA问题的许多方法利用两步方法，其中执行第一非线性步骤以线性化与问题相关的方程，并且执行第二线性步骤以确定线性化方程的解。典型地，CFD和FEA问题在该第二线性步骤中求解线性化矩阵或线性化矩阵集合。

重复(即迭代)两步方法，其中使用线性化方程的解来更新非线性变量并且创建如前述那样求解的新线性化方程。重复该序列直到对非线性方程的更新低于定义阈值并且认为非线性方程已经被求解。

此类线性化矩阵或线性化矩阵集合可使用量子计算设备来求解。然而，在量子计算设备上求解经典矩阵方程(

可使用现有算法(例如，Harrow、Hassidim和Lloyd(HHL)算法)在量子计算设备上实现酉矩阵(Ui)。

图1是示出可被执行以便使用迭代技术来求解非线性问题的示例性方法100的流程图。

在步骤102处，方法100包括读取与问题相关的输入数据。在步骤104处，方法100包括基于该数据来确定问题的初始状态，其由

在步骤106处，方法100包括将与问题相关的一个或多个方程(例如，描述了描述初始状态的变量如何演变的一个或多个方程，诸如非线性纳维斯托克斯方程)表达为线性化系统，该线性化系统旨在求解满足

在步骤108处，方法100包括求解线性矩阵方程

在步骤110处，方法100包括确定向量

在步骤112处，方法100包括确定是否已经满足特定收敛标准。例如，收敛标准可以是向量

在步骤116处，方法100包括确定是否已经超过方法的最大迭代次数。如果确定了已经超过最大迭代次数，则方法100行进到步骤114。否则，方法100行进到步骤106，并且计数器n的值递增1。在步骤106处，基于所获得的列向量

在步骤114处，将已更新列向量

在一些实施方案中，方法100的步骤108可包括使用量子计算设备来求

矩阵的总和：

A＝∑iαiUi

在该分解之后，然后可利用量子计算设备来求解以下线性矩阵方程以获得

因此，当以这种方式利用量子计算设备时，方法100要求矩阵A对于方法100的每次迭代分解成酉矩阵的总和。对于小矩阵，此分解为相对简单的，但对于较大矩阵很快变为复杂且计算昂贵的。因此，目前，利用量子计算设备来求解基于整数值矩阵或其中例如沿着对角线重复少量实数值的矩阵的问题，而不是在CFD和FEA问题中需要求解的更大、更复杂的矩阵。

发明内容

本公开的一个方面提供了一种确定满足

本公开的另一个方面提供了一种在至少一个计算设备上执行的确定满足

基于所述已更新列向量

所述酉矩阵中的每一者可具有对应于所述矩阵A的稀疏模式的一部分的稀疏模式。

所述已更新矩阵A和所述矩阵A可具有相同的稀疏模式。

确定等同于所述矩阵A的酉矩阵的线性组合的所述步骤可包括：形成一组或多组酉矩阵，使得包括在特定组内的所述酉矩阵共享所述相同稀疏模式；以及对于每组酉矩阵，确定包括在所述组内的所述酉矩阵子集的所述线性组合的所述系数。

基于所述已更新列向量

每个酉矩阵可由一个或多个泡利矩阵和/或单位矩阵的张量积组成。

确定等同于所述矩阵A的酉矩阵的线性组合的所述步骤可包括：对于每组酉矩阵：将所述组中的每个酉矩阵转换成包括所述相应酉矩阵的所述非零条目的列向量；以及形成针对所述组的群集矩阵，所述群集矩阵包括所述列向量中的每一者。

每个群集矩阵可以是与标量因子

所述至少一个计算设备可包括量子计算设备，并且其中确定满足所述线性矩阵方程的列向量

所述量子计算设备的所述量子位的初始状态可表示所述列向量

操纵所述量子计算设备的所述量子位的量子状态可包括：将一个或多个泡利门应用于所述量子计算设备的一个或多个量子位，其中所述一个或多个泡利门中的每一者表示所述酉矩阵的线性组合内的相应酉矩阵。

操纵所述量子计算设备的所述量子位的量子状态可包括：将一个或多个旋转门应用于所述量子计算设备的一个或多个量子位，其中所述一个或多个旋转门中的每一者表示所述酉矩阵的线性组合内的相应酉矩阵。

所述至少一个计算设备可包括经典计算设备，并且其中可使用所述经典计算设备来确定满足所述线性矩阵方程的所述列向量

所述至少一个计算设备还可包括多个经典计算核心，并且其中确定等同于所述矩阵A的酉矩阵的线性组合的所述步骤可在多个经典计算核心上并行执行。

所述方法可包括，对于所述多个经典计算核心中的每一者：确定包括在所述酉矩阵的线性组合内的所述酉矩阵的子集。

所述方法可包括，对于所述多个经典计算核心中的每一者：确定所述酉矩阵的所述线性组合的所述系数的子集。

所述至少一个计算设备还可包括多个经典计算核心，并且其中基于所述已更新列向量x来更新所述酉矩阵的线性组合的所述系数的所述步骤在多个经典计算核心上并行执行。

所述方法可包括，对于所述多个经典计算核心中的每一者：确定所述酉矩阵的所述线性组合的所述已更新系数的子集。

所述已更新列向量

所述已更新列向量

所述已更新列向量

所述方法还可包括：在部件、子系统或系统的设计过程中使用所获得的解。

本公开的附加方面提供了一种包括指令的计算机程序，所述指令在至少一个处理器上执行时致使所述至少一个处理器执行根据公开内容的前述段落中任一段所述的方法。

本公开的又一方面提供了一种计算机程序产品，包括其上存储有根据前述段落所述的计算机程序的非暂态计算机可读介质。

本公开的附加方面提供了一种用于确定满足

本公开的又一个方面提供了一种用于确定满足

所述系统可包括至少一个经典计算设备和量子计算设备。

所述系统可包括多个经典计算设备。

附图说明

为了更好地理解本公开内容的示例，并且为了更清楚地示出可如何实施示例，现在将仅通过示例参考以下附图，其中：

图1是示出可被执行以便使用迭代技术来求解非线性问题的示例性方法100的流程图；

图2是在至少一个计算设备上执行的确定满足

图3是使用迭代技术来求解非线性问题的方法300的示例的流程图；

图4是图3的步骤308的示例性具体实施的流程图；

图5是用于使用迭代技术来求解非线性问题的混合经典-量子方法500的示例；

图6是用于确定满足

图7是用于确定满足

具体实施方式

下文出于解释而非限制的目的阐述特定细节，诸如特定实施方案或示例。本领域技术人员应当理解，除了这些具体细节之外，还可采用其他示例。在一些实例中，省略了众所周知的方法、节点、接口、电路和设备的详细描述以免用不必要细节混淆本描述。本领域的技术人员将了解，可使用硬件电路(例如，互连以执行专门功能的模拟和/或离散逻辑门、ASIC、PLA等)和/或结合一个或多个数字微处理器或通用计算机使用软件程序和数据在一个或多个节点中实现所描述的功能。使用空中接口来进行通信的节点还具有合适的无线电通信电路。此外，在适当的情况下，可另外认为技术完全体现在任何形式的计算机可读存储器内，诸如包含将致使处理器执行本文描述的技术的适当计算机指令集的固态存储器、磁盘或光盘。

硬件具体实施可包括或涵盖但不限于数字信号处理器(DSP)硬件、精简指令集处理器、包括但不限于专用集成电路(ASIC)和/或现场可编程门阵列(FPGA)的硬件(例如，数字或模拟)电路，以及(在适当情况下)能够执行此类功能的状态机。

本公开的某些实施方案使得能够实现混合经典-量子系统以用于使用迭代技术来求解非线性问题(例如，CFD和FEA问题)。

应当注意，在将矩阵A分解成酉矩阵的线性组合时，可利用与迭代求解CFD和FEA问题相关联的矩阵的特定属性。

尽管上述第一非线性步骤可在问题被迭代求解时重复若干次(其中该更新基于从先前迭代获得的解)，但对于某些类型的问题(诸如CFD和FEA问题)，矩阵A的稀疏模式将不更新，即使矩阵A的值被更新。换句话说，当迭代地求解问题时，矩阵A保持固定稀疏模式。

换句话说，在这些示例中，矩阵A具有固定稀疏模式，并且仅矩阵A中的条目依赖于

其中当矩阵A的值被更新时，酉矩阵U

当确定表示矩阵A的酉矩阵集合时，可利用此属性。可确定(或分解)酉矩阵集合，使得即使矩阵A的条目的值被更新，酉矩阵集合也将不会改变。因此，当随着方法的每次迭代更新矩阵A的条目时，仅酉矩阵的线性组合的系数改变。

因此，本公开的实施方案实现用于使用迭代技术来求解非线性问题的更有效方法，因为仅需要随方法的每次迭代更新酉分解的系数。本公开的实施方案还使得能够将具有固定稀疏模式的矩阵(其通常与CFD和FEA问题相关联)分解成适于使用量子计算设备来执行的形式。

此外，本公开的实施方案实现用于在矩阵A被更新时，通过在酉分解中利用具有共享稀疏模式的泡利乘积(也称为泡利字符串)的群集来评估和重新评估酉分解中的系数的更高效方法。

此外，在本公开的实施方案中，使得酉矩阵能够被简单地映射到量子计算门，例如，其中矩阵A被分解成作为泡利矩阵的乘积的酉矩阵的线性组合。

将理解的是，术语量子电路和量子计算设备在整个公开内容中可互换使用。此外，本文使用的术语线性系统或线性方程组一般是指可由矩阵方程

此类系统可例如通过针对更新

另一常见做法是修改线性系统，使得其具有以下形式：

同样，该系统具有本公开可适用于的一般形式。向量

为简单起见，本文所述的实施方案是指一般形式

现在描述在分解矩阵A时利用矩阵A的该固定稀疏模式的示例性方法。将理解的是，本文的方法与涉及一次或多次求解矩阵方程的任何应用相关。

图2是在至少一个计算设备上执行的确定满足

在步骤202处，方法200包括确定等同于矩阵A的酉矩阵的线性组合。在一些实施方案中，酉矩阵中的每一者具有对应于矩阵A的稀疏模式的一部分的稀疏模式。在一些实施方案中，步骤202包括形成一组或多组酉矩阵，使得包括在特定组内的酉矩阵共享相同稀疏模式，并且对于每组酉矩阵，确定包括在组内的酉矩阵子集的线性组合的系数。在一些实施方案中，每个酉矩阵由一个或多个泡利矩阵和/或单位矩阵的张量积组成。

在一些实施方案中，步骤202包括，对于每组酉矩阵：

将组中的每个酉矩阵转换成包括相应酉矩阵的非零条目的列向量，并且形成组的群集矩阵，群集矩阵包括列向量中的每一者。在一些实施方案中，每个群集矩阵是与标量因子

在步骤204处，方法200包括基于酉矩阵的线性组合来确定满足线性矩阵方程的列向量

在一些实施方案中，操纵量子计算设备的量子位的量子状态包括将一个或多个泡利门应用于量子计算设备的一个或多个量子位，其中一个或多个泡利门中的每一者表示在酉矩阵的线性组合内的相应酉矩阵。另选地，在一些实施方案中，操纵量子计算设备的量子位的量子状态包括将一个或多个旋转门应用于量子计算设备的一个或多个量子位，其中一个或多个旋转门中的每一者表示在酉矩阵的线性组合内的相应酉矩阵。

另选地，在一些实施方案中，其中至少一个计算设备包括经典计算设备，使用经典计算设备来确定满足线性矩阵方程的列向量

在一些实施方案中，其中至少一个计算设备还包括多个经典计算核心，确定等同于矩阵A的酉矩阵的线性组合的步骤可在多个经典计算核心上并行执行。在一些实施方案中，多个经典计算核心中的每一者可确定包括在酉矩阵的线性组合内的酉矩阵子集。在一些实施方案中，多个经典计算核心中的每一者可确定酉矩阵的线性组合的系数子集。

在步骤206处，方法200包括基于所获得的列向量

在步骤208处，方法200包括基于所获得的列向量

在步骤210处，方法200包括基于已更新列向量

在一些实施方案中，基于已更新列向量x来确定或更新酉矩阵的线性组合的系数的步骤在多个经典计算核心上并行执行。在一些实施方案中，多个经典计算核心中的每一者可确定酉矩阵的线性组合的已更新系数子集。

在步骤212处，方法200包括基于已更新的酉矩阵的线性组合和已更新列向量b，确定满足已更新线性矩阵方程的已更新列向量

在一些实施方案中，方法200可返回到步骤206并且重复非线性更新直到达到停止阈值。

在一些实施方案中，已更新列向量

图3是使用迭代技术来求解非线性问题的方法300的示例的流程图。此类问题可包括CFD问题、FEA问题、其中求解偏微分方程(例如，网格生成)的问题、或其中求解一个或多个联立方程组的问题。

如上所述，使用迭代技术来求解非线性问题通常涉及将与问题相关的非线性方程表达为要求解的线性方程组。然后可使用量子计算设备来求解该线性方程组。然后返回线性方程组的解并且使用其来更新问题的解。例如，可基于线性方程组的解来更新CFD解中的速度和压力。在此之后，形成依赖于已更新解的新线性化系统，并且然后在方法的下一次迭代中确定新线性化系统的解。

方法300包括，在步骤302处，读取与问题相关的输入信息，并且基于由向量

在步骤304处，方法300包括将与问题相关的一个或多个方程(例如，描述了描述初始状态的变量如何演变的一个或多个方程，诸如非线性纳维斯托克斯方程)表达为线性化系统，该线性化系统旨在求解形式

求解矩阵方程

所获得的向量

更新时进行更新，但矩阵A的稀疏模式未改变。在该实施方案中，矩阵A包括实值。然而，将理解的是，可修改本文中的实施方案以适用于包括复数值的矩阵。

在步骤306处，方法300包括确定n的值是否等于1。如果n的值等于1(换句话说，如果确定这是方法300的第一次迭代)，则方法300包括确定矩阵A的稀疏模式

在步骤308处，方法300包括确定酉矩阵集合，其中该酉矩阵集合的线性组合然后等同于矩阵A。如上所述，为了在量子计算设备上求解形式

在此实施方案中，步骤308包括形成一组或多组酉矩阵，使得包括在特定组内的酉矩阵共享相同稀疏模式。参考图4更详细地描述该步骤的特定示例。

因为基于矩阵A的稀疏模式来确定酉矩阵集合，并且矩阵A的稀疏模式即使在矩阵A的条目被更新时也不改变，所以每次重复方法300时不必重新确定酉矩阵集合。然后，方法300的每次迭代仅需要根据针对方法的先前迭代获得的解来更新酉矩阵的线性组合的系数。

在步骤310处，方法300包括存储一组或多组酉矩阵。参考图4更详细地描述该步骤的特定示例。

将理解的是，对于一些问题(例如，其中在问题被迭代地求解时细化或定义网格的问题)，可能需要对于方法300的一些重复，重新计算矩阵A的分解。换句话说，对于某些类型的问题，当问题被迭代地求解时，方法300的步骤308和310可被执行以用于方法300的多于一次迭代。

在步骤312处，方法300包括对于每组酉矩阵，确定包括在组内的酉矩阵子集的线性组合的系数。在该所示的实施方案中，基于矩阵A的条目的值来确定包括在组内的酉矩阵子集的线性组合的系数。

在方法300的步骤314处，根据所确定的酉矩阵集合来设计量子计算设备(例如，量子计算设备704)。例如，可基于所确定的酉矩阵集合来确定将应用于量子计算设备的运算和/或门。如上文所提及，因为基于矩阵A的稀疏模式来确定酉矩阵集合，并且矩阵A的稀疏模式即使在矩阵A的条目被更新时也不改变，所以每次迭代方法300时不必重新确定酉矩阵集合。类似地，在其中将应用于量子计算设备的运算和/或门在分解中基于酉矩阵集合的实施方案中，这些运算和/或门也不需要在每次迭代方法300时进行更新。

在一些实施方案中，一个或多个泡利门可被应用于量子计算设备的一个或多个量子位，其中一个或多个泡利门中的每一者表示酉矩阵集合内的相应酉矩阵。例如，在其中每个酉矩阵由一个或多个泡利矩阵和/或单位矩阵的张量积组成的实施方案中，每个酉矩阵然后可由泡利门表示。另外地或另选地，一个或多个旋转门可被应用于量子计算设备的一个或多个量子位，其中一个或多个旋转门中的每一者表示酉矩阵集合内的相应酉矩阵。

在步骤316处，方法300包括基于所确定的系数和/或列向量

在一些实施方案中，可省略对应于具有低于小阈值的值的所确定系数的门以便减小要施加到量子计算设备的门的数量，从而使得能够形成更有效的量子电路。在该所示的实施方案中，假定每个省略门对量子电路的输出具有较小或可忽略的影响，这是由于其对应于所确定的集合内的在酉矩阵的线性组合中具有较小系数的酉的事实。

在步骤318处，方法300包括使用量子计算设备来求解以下矩阵方程：

将理解的是，若干标准算法可用于使用量子计算设备来确定该矩阵方程的解。例如，可使用针对线性系统的非变分算法，诸如HHL和QSVT算法。

在一些实施方案中，步骤318可包括基于酉矩阵的线性组合和向量

在步骤320中，方法300包括基于所获得的测量值来确定列向量

将理解的是，列向量

在另选实施方案中，不是使用量子计算设备来确定矩阵方程的解，而是满足线性矩阵方程的列向量

在步骤322处，方法300包括确定向量

在步骤324处，方法300包括确定是否已经满足特定收敛标准。例如，收敛标准可以是向量

在步骤328处，方法300包括确定是否已经超过方法的最大迭代次数。如果确定了已经超过最大迭代次数，则方法300行进到步骤326。否则，方法300行进到步骤304，并且计数器n的值递增1。在步骤304处，基于所获得的列向量

在步骤326处，将已更新列向量

如上所述，方法300的每次迭代求解已更新线性矩阵方程(其中该更新基于先前获得的解)。然而，尽管存在此更新，但矩阵A的稀疏模式不改变，从而使得相同酉矩阵集合能够用于方法300的进一步迭代。然后在步骤314处，基于矩阵A的条目的已更新值来更新酉矩阵的线性组合的系数。

将理解的是，确定或更新酉矩阵的线性组合的系数的步骤可在多个经典计算核心上并行执行。例如，多个经典计算核心中的每一者可确定或更新酉矩阵的线性组合的系数子集。

图4是图3的步骤308的示例性具体实施的流程图。也就是说，图4是确定酉矩阵集合的示例性方法的流程图，其中酉矩阵的线性组合然后等同于矩阵A，其依赖于矩阵A的稀疏模式被固定。

在步骤402处，获得矩阵A。如上所述，矩阵A的条目基于向量

在步骤404处，方法400包括提取矩阵A的稀疏模式。在该实施方案中，步骤404还包括将变量i,j和c设置为1，其中i,j表示包括在稀疏模式内的条目，并且其中c表示群集号(如将在下面更详细地解释的)。在该实施方案中，方法400开始对稀疏模式进行迭代，其开始于条目i,j＝1,1。然而，将理解的是，方法400可开始对稀疏模式中的任何条目进行迭代。另外，尽管方法400对矩阵A的稀疏模式的条目进行迭代，将理解的是，方法400可被修改为替代地对酉矩阵进行迭代。在该实施方案中，每个酉矩阵由一个或多个泡利矩阵和/或单位矩阵的张量积组成。也就是说，每个酉矩阵由X、Y、Z和单位I矩阵的张量积形成，从而形成泡利积。每个泡利乘积将包括n个矩阵，其中N＝2

在步骤406处，对于稀疏矩阵S

当方法400被迭代时，步骤406将包括确定哪些酉矩阵包括在稀疏模式的对应位置i,j处的条目。所确定的酉矩阵中的每一者将因此具有对应于矩阵A的稀疏模式的一部分的稀疏模式。

上述泡利乘积将形成群集，其中对于每个群集，该特定群集的所有成员将共享相同稀疏模式。每个泡利乘积唯一地是这些形成的群集中的一者的成员，并且每个泡利乘积属于哪个群集可通过确定泡利乘积是否具有与矩阵A的稀疏模式中的条目重叠的稀疏模式来确定。应当注意，由于通常与诸如CFD和FEA问题的问题相关联的矩阵中的高度稀疏性，许多酉(或泡利乘积)群集将不与矩阵A中的条目重叠。

将理解的是，在此实施方案中，由于每个酉矩阵在每个行和列中包括单个条目，因此稀疏矩阵可压缩行或压缩列格式进行存储，因为不需要搜索在i后的行或在j后的列。

在步骤406之后，在步骤408处，对所确定的酉矩阵集合进行分组。在一些实施方案中，可将组中的每个酉矩阵转换成包括相应酉矩阵的非零条目的列向量，并且然后可针对酉矩阵组形成群集矩阵，其包括这些列向量中的每一者。

在步骤410处，通过零条目来扩充矩阵A的稀疏模式以便用通过酉矩阵组的总和来创建公共稀疏模式。酉矩阵组(群集)的稀疏模式可包括不是矩阵A的稀疏模式的一部分的矩阵元素。也就是说，群集中的酉矩阵可包括非零条目，其中矩阵A中的等同条目总是为零。这些条目然后被添加到矩阵A的稀疏模式，因为酉系数的计算必须确保这些条目的值为零。

在步骤412处，对群集矩阵求逆。应当注意，当矩阵A由实值条目组成时，以这种方式形成的每个群集矩阵的逆等于其转置。每个群集矩阵是与标量因子

因此，可确定这些群集矩阵中的每一者的转置而无需计算上昂贵的矩阵求逆步骤。

在步骤414处，然后确定稀疏模式的任何另外元素是否共享所形成的群集的稀疏模式。如果是，则稀疏模式的这些条目与标记为c＝1的群集相关联。然后，方法400将稀疏模式的这些条目标记为完成，使得如果重复方法400，则方法400将不对它们进行迭代。

在步骤416处，方法400确定在稀疏模式中是否存在尚未被标记为完成的任何条目(换句话说，在稀疏模式中是否存在尚未与所形成的群集相关联的任何条目)。如果稀疏模式中存在尚未被标记为完成的条目，则更新i和j的值以表示稀疏矩阵中的不与群集相关联的下一个条目，并且c的值递增1以表示新群集。方法400然后返回到步骤406以用于稀疏矩阵中的下一个相关条目。

如果稀疏模式中的所有条目已经被标记为完成，则在步骤418存储已转置群集矩阵的集合，如方法300的步骤310中的情况。将理解的是，存储针对每个酉矩阵组的已转置群集矩阵使得每次更新线性化矩阵系统时(例如，在方法300的步骤314处)能够快速重新计算酉分解的系数。

应当注意，每个已转置群集矩阵中的所有条目为±1，这最小化存储已转置群集矩阵所需的存储装置。例如，已转置群集矩阵可使用标准编程类型、使用单字节来存储，或者可使用定制编程类型、使用单个位来存储。

还存储每个群集矩阵的稀疏模式。这可通过针对群集存储每个群集的稀疏模式一次来优化，而不是通过群集中的每个酉(因为群集中的每个酉共享相同稀疏模式)。

在一些实施方案中，这种确定酉矩阵A的集合的方法可在多个经典计算核心上并行执行。例如，在一些实施方案中，多个经典计算核心中的每一者可确定包括在酉矩阵的线性组合内的酉矩阵子集。例如，多个经典计算核心中的每一者可针对一个或多个酉矩阵执行上述步骤406。

这种并行化可通过在可用经典计算核心之间划分酉矩阵来实现，应当注意，每个酉矩阵独立于其他酉矩阵。例如，如果存在待分析的N个酉矩阵和可用的M个计算核心，则每个核心可处理N/M个酉矩阵。可对酉矩阵进行索引以使得可在不重复的情况下对其进行处理。可使用4进制数将索引映射到酉矩阵，因为针对每个泡利乘积(I,X,Y,Z)有4个选项可用。例如，对于索引n＝114，4进制数值是1302＝1x64+3x16+0x4+2，并且对应酉是

图5是用于使用迭代技术来求解非线性问题的混合经典-量子方法500的示例。执行方法500的系统包括经典计算设备502、混合接口504和量子计算设备506。

在该所示的实施方案中，混合接口504是经典计算设备。在一些实施方案中，经典计算设备502包括混合接口504。在一些实施方案中，混合接口504是与经典计算设备502分开的经典计算设备。在这些实施方案中，混合接口504可被设计用于经典计算设备与量子计算设备之间的通信。例如，混合接口504可被配置为快速地处理步骤516的重复执行以构造

在步骤508处，方法500包括读取与问题相关的输入信息，并且基于此数据来确定问题的初始状态。例如，步骤508可对应于图3的步骤302。

在步骤510和512处，方法500包括将与问题相关的一个或多个方程表达为线性化系统，该线性化系统旨在求解形式

在步骤514处，经典计算设备502将矩阵A和列向量

在步骤516处，量子计算设备接收等同于矩阵A的酉矩阵的线性组合以及量子计算设备506的初始状态，并且然后求解以下矩阵方程：

例如，步骤516可对应于图3的步骤318。

量子计算设备506的输出状态的测量值

在步骤518处，混合接口504处理测量值以确定列向量

在该所示的实施方案中，步骤516可重复多次以创建

在步骤520处，经典计算设备502更新线性化方程的变量。例如，步骤520可包括确定向量

在步骤522处，经典计算设备502确定非线性问题的解是否已经收敛。例如，步骤522可对应于方法300的步骤324和/或328。

如果确定解已经收敛，则已更新列向量

图6是用于确定满足

图7是用于确定满足

尽管本文描述的实施方案涉及求解其中矩阵是实数值的矩阵方程，但将理解的是，这些方法也可扩展至求解其中矩阵是复数值的矩阵方程。

如上文所指示，在一些示例中，尽管存在系数的更新，但矩阵A的稀疏模式不改变，从而使得相同酉矩阵集合能够用于进一步迭代。因此，不必针对每次迭代重新计算酉矩阵集合，仅需要更新系数。

还如上文所指示，在一些示例中确定或更新酉矩阵的线性组合的系数的步骤可在多个经典计算核心上并行执行。例如，多个经典计算核心中的每一者可确定或更新酉矩阵的线性组合的系数子集。另外地或另选地，例如，多个经典计算核心中的每一者可确定或更新酉矩阵子集中的系数。例如，每个群集可使用一个核心来处理(或群集中的矩阵的处理可在多个核心之间分割)。

在一些示例中的所提出的解的一般优点在于，这些方法使得能够将任意矩阵分解成可在量子计算设备上适当地执行的形式，包括与CFD和FEA问题相关联的更大且更复杂的矩阵。此外，分解可与用于线性系统的非变分算法(诸如HHL和QSVT算法)一起使用。本公开的实施方案还仅涉及一次计算昂贵的分解步骤，该分解步骤仅在方法的第一次迭代时执行，其中确定酉矩阵的线性组合的酉矩阵集合，其然后再用于方法的每次进一步迭代。

应当注意，上述示例说明而不是限制本发明，并且本领域技术人员将能够在不脱离所附声明的范围的情况下设计许多另选示例。词语“包括”不排除除了权利要求中列出的元件或步骤之外的元件或步骤的存在，“一”或“一个”不排除多个，并且单个处理器或其他单元可实现在以下陈述中列举的若干单元的功能。在使用术语“第一”、“第二”等的情况下，它们仅被理解为用于方便地识别特定特征的标记。具体地，它们不应被解释为描述多个此类特征中的第一特征或第二特征(即，此类特征中的第一特征或第二特征在时间或空间上出现)，除非另外明确说明。除非另有明确说明，否则本文公开的方法中的步骤可以任何顺序进行。陈述中的任何参考标记不应被解释为限制其范围。