一种梁结构线性振动预测方法

技术领域

本发明涉及梁结构振动预测领域，特别涉及一种梁结构线性振动预测方法。

背景技术

梁结构因为结构简单、可塑性强、截面型号标准化等原因被广泛用作桥梁建造、海洋平台、输电铁塔等结构的基本框架材料。在这些应用场景中，常需要连接两个距离较远的位置，长梁往往不能保证结构的刚度和强度设计要求，为提高结构的稳定性和安全性，工程从业人员会在梁中增加支撑节点或者设计交叉梁系。考虑到此类结构的动力学环境非常复杂，且增加梁的支撑节点或者设计成交叉梁系后，结构内部存在复杂的耦合关系，其动力学特性发生变化。为了研究结构几何因素、材料因素以及边界条件等对长跨梁、多跨梁和交叉梁系结构线性振动特性的影响，需要建立相关的分析模型，为多跨梁和交叉梁系的减振设计提供基础。

现有的梁结构振动预测建模方法，大多是在Euler-Bernoulli梁理论、Rayleigh梁、Timoshenko梁理论上建立的，这些建模理论均对梁做了平面变形假设，对某些方向的变形不做考虑，无法获得欠考虑方向的模态振型。因此，通过以上建模理论建立的预测模型进行求解计算，获得的多跨梁的振动特性并不全面。

此外，交叉梁系是一个复杂的多梁单元耦合系统，模态振型中的交叉节点变形具有一定空间性，而不是简单的平面变形。基于平面变形假设的经典梁理论建立的梁单元模型，没有限制假设平面外的空间自由度，导致在交叉节点位置处的耦合失效，因此，获得的预测结果也是不准确的；而有限元仿真软件作为结构振动预测的现有常用解决办法，在建模方面表现得十分繁琐，无法快速进行参数化分析，获得具有指导意义的规律性动力学特性曲线。

鉴于以上技术缺陷的存在，提出本发明申请。

需注意的是，以上背景技术内容的公开仅用于辅助理解本发明的发明构思及技术方案，其并不必然属于本专利申请的现有技术，在没有明确的证据表明上述内容在本申请的申请日已经公开的情况下，上述背景技术不应当用于评价本申请的新颖性和创造性。

发明内容

为解决上述技术问题，本申请提供一种梁结构线性振动预测方法，能够对多跨梁和交叉梁结构进行线性振动预测，精确描述梁所有方向的变形，解决了传统梁理论因平面假设减少约束自由度导致的固有频率结果缺失的现象，有利于获得完整的多跨梁振动信息。同时也可以有效解决传统梁理论因平面假设减少约束自由度导致的交叉梁内部梁单元刚性连接模拟失效问题。

一种梁结构线性振动预测方法，包括：

将多跨梁或交叉梁按照结构内部的连接关系拆分成梁单元；

建立梁单元结构的物理模型；

基于改进傅里叶级数法，构造梁单元中间层上任意点的位移容许函数；

建立梁单元的弹性力学方程；

根据能量叠加原理建立多跨梁和交叉梁结构的拉格朗日能量泛函；

使用瑞利-里兹法获得多跨梁和交叉梁的振动预测模型，并结合经典振动理论求解特征值；

通过与有限元结果进行对比，验证模型的正确性；

对多跨梁和交叉梁结构进行振动特性预测。

优选的，所述建立梁单元结构的物理模型包括：

将梁单元抽象和简化处理后，获得梁单元的物理模型；

选择合适位置建立笛卡尔空间坐标系；

所述建立梁单元的弹性力学方程包括：根据梁结构的几何特征和材料参数，选取合适的本构方程，建立适用多跨梁和交叉梁的梁单元弹性力学方程。

优选的，多跨梁和交叉梁内部的梁单元的物理模型位移表达式为：

；

式中，

其中，梁单元的物理模型位移使用6自由度梁理论表示为：

；

；

；

式中，

优选的，多跨梁中间层上任一点的某自由度方向的位移容许函数满足：

；

式中，

其中，

；

；

式中，

优选的，多跨梁和交叉梁内部梁单元的本构模型为：

；

式中，

优选的，所述单元应变向量包括多跨梁和交叉梁内部梁单元中面的正应力和曲率变化，所述单元应变向量可表示为：

；

其中，

；

；

；

；

；

；

式中，

优选的，多跨梁和交叉梁的能量表达式包括的梁结构的应变势能、动能和外力做功；

其中，梁结构的应变势能表达式为：

；

梁结构的动能为：

；

外力做工为：

；

式中，

优选的，多跨梁和交叉梁的边界条件和耦合关系通过人工弹簧来进行模拟，其中，弹簧的弹性势能包括：

耦合势能：

；

边界弹簧势能：

；

其中，

优选的，所述多跨梁和交叉梁结构的拉格朗日能量泛函为：

。

优选的，多跨梁和交叉梁的振动预测模型为：

；

式中，

与现有技术相比，本申请至少具有以下有益效果：

1.本发明技术方案采用了6自由度梁理论描述梁单元内任意一点的位移，可以精确描述梁所有方向的变形，解决了传统梁理论因平面假设减少约束自由度导致的固有频率结果缺失的现象，有利于获得完整的多跨梁振动信息。同时也可以有效解决传统梁理论因平面假设减少约束自由度导致的交叉梁系内部梁单元刚性连接模拟失效问题。

2.本发明技术方案使用人工虚拟弹簧技术来模拟多跨梁和交叉梁结构的边界约束以及耦合关系，通过设置各方向的弹簧刚度值，模拟不同的边界约束条件和刚性连接条件，可以有效解决多跨梁和交叉梁结构的复杂边界模拟问题和梁单元之间的刚性连接问题，从而可以全面分析多跨梁和交叉梁系在各类边界条件下的振动特性。

3.本发明中使用改进傅里叶级数构造梁单元的位移函数，可以适应各种复杂边界条件，且具有快速的收敛性和准确度。

4.本发明同样能够对长跨梁结构进行振动特性分析。

附图说明

后文将参照附图以示例性而非限制性的方式详细描述本发明的一些具体实施例。附图中相同的附图标记标示了相同或类似的部件或部分。本领域技术人员应该理解，这些附图未必是按比例绘制的。附图中：

图1为本发明的整体流程示意图；

图2为本发明长梁形式的单梁几何模型示意图；

图3为本发明长梁形式的单梁几何模型的截面示意图；

图4为本发明多跨梁的几何模型示意图；

图5为本发明多跨梁内部耦合关系示意图；

图6为本发明四跨梁稳态响应对比图；

图7为本发明交叉梁系的几何模型示意图；

图8为本发明交叉梁系的几何模型边界模拟示意图；

图9为本发明交叉梁系内部轴向方向耦合关系示意图；

图10本发明交叉梁系内部交叉耦合关系示意图；

图11为本发明交叉梁系稳态响应对比图。

图12为本发明交叉梁系受迫振动激励点和响应点位置示意图；

图13本发明多跨梁和交叉梁系结构所使用的梁单元截面形状示意图。

具体实施方式

为使本申请的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本申请具体实施例及相应的附图对本申请技术方案进行清楚、完整地描述。显然，所描述的实施例仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本申请保护的范围。

如图1所示，一种梁结构线性振动预测方法，包括以下步骤：

步骤S1、将多跨梁或交叉梁按照结构内部的连接关系拆分成梁单元；

步骤S2、建立梁单元结构的物理模型；

步骤S3、基于改进傅里叶级数法，构造梁单元中间层上任意点的位移容许函数；

步骤S4、建立梁单元的弹性力学方程；

步骤S5、根据能量叠加原理建立多跨梁和交叉梁结构的拉格朗日能量泛函；

步骤S6、使用瑞利-里兹法获得多跨梁和交叉梁的振动预测模型，并结合经典振动理论求解特征值；

步骤S7、通过与有限元结果进行对比，验证模型的正确性；

步骤S8、对多跨梁和交叉梁结构进行振动特性预测。

其中，所述建立梁单元结构的物理模型包括：

将梁单元抽象和简化处理后，获得梁单元的物理模型；

选择合适位置建立笛卡尔空间坐标系。

所述建立梁单元的弹性力学方程包括：

根据梁结构的几何特征和材料参数，选取合适的本构方程，建立适用多跨梁和交叉梁的梁单元弹性力学方程。

此外，将梁单元抽象和简化处理后，获得梁单元的物理模型时， 由于梁结构的制造倒角、焊缝等几何因素对结构振动影响较小，这些因素在梁单元抽象和简化处理时全部不予考虑，而直接将梁单元简化成便于数学建模的几何结构。梁单元抽象简化是本领域通用的技术手段，在此不再赘述。

实施例1

本实施例重点阐述单个梁单元的振动建模方法，不涉及模型拆分步骤，因此，无需实施上述步骤S1，直接从步骤S2开始。

如图2及图3所示，为单梁的结构几何模型，其截面为矩形，

梁的边界条件使用人工虚拟弹簧技术模拟，通过设定一组6自由度弹簧{

下表给出自由边界F、固支边界C、简支边界S共三种边界条件对应的弹簧刚度值。

三种边界条件对应的弹簧刚度值表

多跨梁和交叉梁内部的梁单元的物理模型位移表达式为：

；

式中，

在本实施例中，使用6自由度梁理论来描述梁单元的位移，充分考虑了空间梁单元的剪切变形和扭转变形的影响，梁单元的位移分量可以表示为：

；

；

；

式中，

所述的位移变量

本实施例采用改进傅里叶级数法构造一维的位移形函数，因此，梁单元的位移变量可以表示为：

；

；

；

；

；

；

其中，

；

；

式中，A、B、C、D、E、G分别表示6个位移函数对应的系数；

为梁单元长度；/>

根据6自由度梁单元的剪切应变效应，单梁的剪切-应变关系为：

；

；

；

表示单元应变向量可表示为：

；

其中，

；

；

；

；

；

；

式中，

各向同性梁的本构方程可以表示为：

；

式中，s

根据能量原理，梁单元的势能表达式如下表示：

；

式中，

；

；

；

式中， b为单梁矩形截面的宽度，h为单梁矩形截面梁的厚度。

因此，由

。

单梁的动能表达式为：

；

式中，

因此，由

。

引入人工虚拟弹簧技术后，其边界弹簧势能表达为：

；

式中，k

因此，以单梁作为梁单元，由多梁单元构成的梁结构的耦合势能可以表示为：

；

此时，梁结构的边界弹簧势能可以表示为：

；

其中，

对于外部分布激励

；

其中，

因此，由

。

构建拉格朗日能量泛函。其表达式为：

；

其中，以单梁作为梁单元，

通过瑞利里兹法对构建拉格朗日能量泛函求解未知函数，获得梁单元的振动预测模型为：

；

其中，以单梁作为梁单元，K

当单梁或梁单元的载荷向量为零时，可分析单梁或梁单元的自由振动特性。通过求解上式可以获得单梁或梁单元的固有频率、模态振型以及简谐响应结果。

实施例2

多跨梁是在单向长梁的基础上发展而来的，只是为了增加梁的支撑刚度，在中间位置添加了适量的支撑点。本实施例重点阐述多跨梁的线性振动预测建模方法。

根据多跨梁的支撑位置，将多跨梁在支撑位置处拆解成多个梁单元的组合结构。

建立如图4所示的多跨梁的物理模型，拆解出来的各梁单元的长度分别为

k

k

多跨梁的边界条件设置方式与实施例1保持一致。

考虑带本实施例的多跨梁是多个梁单元的相互耦合的结果。因此多跨梁的位移表达式、位移容许函数以及弹性力学方程同实施例1。

不同之处在于，基于能量叠加原理，多跨梁的应变势能

；

；

其中，

各子梁之间沿长度方向耦合，其连接关系如图5所示，连接处的力学和位移连续条件可以表示为：

；

式中，u

在所述的力学和位移连续性条件的基础上，通过人工虚拟弹簧技术模拟的多跨梁的梁单元间的力与位移关系具体表达为：

；

所述的人工弹簧技术模拟多跨梁内部梁单元的刚性连接关系，带来了耦合弹性势能

；

多跨梁内部还存在链杆支撑节点，同样也使用弹簧模拟，储存在多跨梁支撑弹簧内的弹簧势能为：

；

所述的多跨梁两端的边界条件为：

；

多跨梁受到的外部集中载荷做功可表达为：

；

将多跨梁的应变势能、系统的弹性势能、动能以及外力做功分类叠加，构造多跨梁的拉格朗日能量泛函:

；

使用瑞丽-里兹法建立多跨梁的振动预测模型方程：

；

式中，K

当多跨梁的外力向量为零时，可分析多跨梁的自由振动特性，对多跨梁进行振动特性预测。求解上式可以获得梁系的固有频率、模态振型以及简谐响应结果。

将所建立的预测模型，设置好梁的几何参数、材料参数和边界条件后进行求解，并在有限元软件ABAQUS软件中建立相同分析模型，将两种方法获得的结果进行对比。通过对比发现，本发明提出的预测模型获得的多跨梁的模态振型与有限元方法具有良好的一致性。图6为四跨梁结构的稳态响应对比结果，组成的梁单元尺寸为：

实施例3

交叉梁系是多根长梁交叉组合的结果，本实施例重点阐述交叉梁系的线性振动预测建模方法。

图7为交叉梁系的几何模型。以图7为例，该交叉梁系可拆分为8种型号的梁单元，即横梁单元1, 2, 3, 4和纵梁单元I, II, III, IV，这八种梁单元的长度分别为

同样的，本实施例的交叉梁系是由多个梁单元在纵向和横向耦合的结果，因此，交叉梁系的位移表达式、位移容许函数以及弹性力学方程与实施例1中单梁的保持一致，在此不再赘述。

基于能量叠加原理，

；

；

其中，应变势能以及动能的下标

本实施例的耦合步骤为，先将梁系的所有纵向和横向的梁单元耦合成纵向长梁和横向长梁，然后在纵向长梁和横向长梁的各梁单元耦合位置进行再次耦合，形成交叉梁系。

本实施例的建模过程中，横向长梁与纵向长梁的模型建立与多跨梁类似，只是在多跨梁的基础上省略了节点支撑条件。因此，如图9及图10所示，储存在横向长梁与纵向长梁中的耦合弹簧势能可以分别表示为：

；

；

如前所述，纵向长梁与横向长梁之间的二次耦合弹性势能为：

；

其中，

结合上述耦合过程，

；

×/>

；

梁系受到外界激励，假设作用在梁系中某纵长梁和某横长梁的第

；

整体梁系在外部激励载荷作用下的拉格朗日泛函

；

通过瑞利里兹法，获得交叉梁的振动预测模型为：

；

式中，

在本实施例中，假定交叉梁系结构中所有梁单元的截面属性以及材料属性一致，为：

图11为本发明提出的交叉梁系受迫振动稳态响应的计算结果与有限元结果的对比。对应的梁系结构为3×3梁系结构，梁系的组成梁单元尺寸为：

需要指出的是，如图13所示，本发明所涉及的梁单元截面不仅限于矩形截面，还有圆截面、圆环形截面、工字型截面、梯形截面、空心方钢截面等，在建模过程时，仅需根据截面几何特征中梁对z轴和对y轴的截面惯性矩以及沿梁截面中轴线的转动惯量即可。

需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、工作、器件、组件和/或它们的组合。

需要说明的是，本申请的说明书和权利要求书及上述附图中的术语“第一”、“第二”等是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。应该理解这样使用的数据在适当情况下可以互换，以便这里描述的本申请的实施方式能够以除了在这里图示或描述的那些以外的顺序实施。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。