一种考虑薄壁箱梁阻尼下弯扭耦合频率识别的分析方法

技术领域

本发明涉及薄壁箱梁弯扭耦合频率识别技术领域，尤其是涉及一种考虑薄壁箱梁阻尼下弯扭耦合频率识别的分析方法。

背景技术

桥梁在促进铁路和公路运输方面发挥着至关重要的作用。桥梁的健康状况可能会影响或危及物流的正常安全运行。事实上，由于地震、台风、超载、风化等环境因素的影响，大多数桥梁的使用性能都在不断下降。因此，寻找能够快速监测和评估桥梁健康状况的技术引起了全球研究人员和工程师的关注。

传统上，人们普遍采用直接测量法来评估桥梁的健康状况，即直接在桥梁上部署振动传感器，从而为桥梁管理者提供及时的信息，以便进行预警和决策。遗憾的是，除了安装和维护成本高昂之外，部署在桥梁上的传感器的寿命通常短于需要监测的桥梁。此外，直接方法往往会不断产生大量数据，无法有效消化。基于上述原因，直接法主要适用于大跨度或非常重要的桥梁，而不适用于最普遍、数量庞大的中小跨度桥梁。

作为直接测量法的替代方法，2004年提出了使用移动测试车辆提取桥梁动态特性的方法，该方法以车桥相互作用(Vehicle-bridge interaction,VBI)动力学为基础。这项技术最初被称为间接测量法，后来为了便于解释，更名为桥梁车辆扫描法(VehicleScanning Method,VSM)。通过使用装有一个或几个振动传感器的测试车辆，该技术可以轻松提取桥梁的动态特性，如频率、阻尼比、模态振型等。与直接测量方法相比，VSM具有移动性、经济性和高效性等优点。除了对桥梁频率的识别，人们还提出了许多模型和算法来拓宽VSM的应用领域，包括损伤检测、振型构建、阻尼识别、时变参数识别等。现场测量也验证了VSM的可靠性。

在过去的二十年中，VSM技术在车辆力学模型和数据处理方法方面取得了进步，从而提高了其整体能力。在发展初期，VSM主要关注桥梁的竖向运动，将桥梁建模为二维(2D)结构，不考虑扭转-弯曲运动。对于横截面为单侧对称的桥梁，最好将桥梁修改为三维(3D)结构，车辆偏离桥梁中心线会激发桥梁的扭转-弯曲耦合运动。不言而喻，相当一部分桥梁事故都是由偏心和不平衡超载造成的。

对于单对称薄壁桥梁，有人提出了一个理论框架，用于从车辆的残余接触响应中获取竖向和扭转频率，该框架由两辆相连的测试车辆组成，每辆测试车辆均被模拟为单自由度(Degree offreedom,DOF)系统，后来又将检测车视为两自由度系统。通过采用刚性横截面的运动学假设，人们自动分离了薄壁箱梁的竖向频率和扭转频率，然后通过小波变换检索各自的模态振型。然而，上述任何一项研究都没有考虑薄壁箱梁的阻尼效应。

发明内容

为了解决上述问题，本发明的目的是提供一种考虑薄壁箱梁阻尼下弯扭耦合频率识别的分析方法，将阻尼效应纳入受移动测试车辆影响的单对称薄壁箱梁的计算中，通过使用刚性横截面的假设，可以推导出摇摆接触响应，并从中分离出扭转-弯曲频率和竖向频率，并通过使用两辆相连的单轴测试车辆产生的残余接触响应，以达到减轻路面粗糙度影响的目的。

为实现上述目的，本发明提供了一种考虑薄壁箱梁阻尼下弯扭耦合频率识别的分析方法，包括以下步骤：

步骤一，通过试验车辆建立三维车桥模型，得出薄壁箱梁的竖向、横向、扭转运动方程，并推导出车辆、薄壁箱梁和接触响应的闭合解；

步骤二，对薄壁箱梁摇摆和竖向接触响应进行计算；

步骤三，通过有限元分析方法对上述步骤中推导出的闭合解进行验证；

步骤四，结合有限元分析的结果对解进行数值验证；

步骤五，对阻尼影响薄壁箱梁动态响应及其频率识别进行分析。

优选的，步骤一中，步骤一中，试验车采用双自由度系统的移动测试车辆，试验车具有垂直y

优选的，通过步骤一中薄壁箱梁的竖向、横向和扭转的运动方程，得出试验车竖向和摇摆的运动方程，结合规定的边界条件，得到梁的模态方程，推导出车辆、薄壁箱梁和接触响应的闭合解。

优选的，步骤二中，车辆与桥梁接触点的响应会随着车辆在桥梁上的移动而移动，根据车辆响应并利用车辆的平衡方程反向计算车辆与桥梁接触点的响应，结合步骤一中的车辆、薄壁箱梁和接触响应的闭合解，计算摇摆和竖向接触响应。

优选的，步骤三中，通过有限元仿真方法对上述推导出的解进行验证，试验车辆视为一个考虑阻尼的双自由度系统，根据节点相容性和平衡条件组装成全局质量、刚度和阻尼矩阵，建立车桥耦合系统动力方程，采用无条件稳定的Newmark-β算法求解耦合系统动力学方程。

优选的，步骤四中，对薄壁箱梁和试验车的性能进行数值验证，并与有限元结果进行比较，步骤五中，分析统一式桥梁阻尼和非统一式桥梁阻尼对摇摆接触响应的影响。

因此，本发明采用上述考虑薄壁箱梁阻尼下弯扭耦合频率识别的分析方法，将阻尼效应纳入受移动测试车辆影响的单对称薄壁箱梁的计算中，先推导了车辆、薄壁箱梁和接触响应的闭合解，再通过车轮接触点与薄壁箱梁之间的空间关系，推导出梁的摇摆和竖向接触响应公式，概述了包括三维VBI单元在内的有限元方法，验证了分析解决方案的准确性，并演示了如何利用摇摆接触响应识别扭转-弯曲频率，最终研究了桥梁阻尼对薄壁箱梁动态响应和频率的影响，填补了考虑薄壁箱梁阻尼效应的空白。

下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。

附图说明

图1为本发明实施例的方法流程图；

图2为本发明实施例的三维车桥模型的透视及剖面图；

图3为本发明实施例的三维VBI单元示意图；

图4为本发明实施例的桥梁跨中处的加速度响应示意图；

图5为本发明实施例的车辆加速度响应的FFT频谱示意图；

图6为本发明实施例的垂直接触加速度响应的FFT频谱示意图；

图7为本发明实施例的摇摆接触加速度响应的FFT频谱示意图；

图8为本发明实施例的垂直接触加速度响应的FFT频谱示意图；

图9为本发明实施例的不同桥梁阻尼比下的摇摆接触加速度示意图；

图10为本发明实施例的不同桥梁阻尼比下摇摆接触加速度的FFT频谱示意图；

图11为本发明实施例的双向桥梁阻尼比时垂直和摇摆接触加速度的FFT频谱图。

具体实施方式

以下通过附图和实施例对本发明的技术方案作进一步说明。

除非另外定义，本发明使用的技术术语或者科学术语应当为本发明所属领域内具有一般技能的人士所理解的通常意义。本发明中使用的“第一”、“第二”以及类似的词语并不表示任何顺序、数量或者重要性，而只是用来区分不同的组成部分。“包括”或者“包含”等类似的词语意指出现该词前面的元件或者物件涵盖出现在该词后面列举的元件或者物件及其等同，而不排除其他元件或者物件。术语“设置”、“安装”、“连接”应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。“上”、“下”、“左”、“右”等仅用于表示相对位置关系，当被描述对象的绝对位置改变后，则该相对位置关系也可能相应地改变。

实施例

如图1所示，本发明所述的考虑薄壁箱梁阻尼下弯扭耦合频率识别的分析方法，包括以下步骤：

步骤一，通过试验车辆建立三维车桥模型，得出薄壁箱梁的竖向、横向、扭转运动方程，并推导出车辆、薄壁箱梁和接触响应的闭合解。

1.1三维车桥系统的控制方程式

以前，在推导运动测试车辆下的三维薄壁箱梁的闭合解时，忽略了桥梁的阻尼。在本发明中，这种效应将同时考虑进车辆与薄壁箱梁一般理论推导中。所采用的试验车是单轴(刚性)双轮车辆，由于其理论建模和物理特性之间的紧密联系，在使用移动的测试车辆来检测桥的特性时，大多数量将以“加速度”来测量。因此，分析时将只关注加速度响应。

如图2所示。一个长度为L的三维薄壁箱梁，试验车采用双自由度系统的移动测试车辆，试验车具有垂直y

基于Vlasov的薄壁箱梁理论，得出薄壁箱梁在双自由度车辆以速度v运动下的竖向、横向和扭转的运动方程。

其中，左右接触力分别为

在公式(1)-(5)中，v(x,t)、w(x,t)和θ(x,t)分别表示薄壁箱梁的垂直位移、侧向位移和扭转位移；δ是狄拉克Delta函数；g表示重力加速度；上标加点和加撇分别表示相对于时间t和坐标x的导数。对于车辆：m

对于试验车辆，垂直和摇摆运动的方程可写为

其中，

其中ω

实际上，薄壁箱梁的横向位移和扭转位移两端受到横隔板的约束，竖向位移受到支座的约束，但末端截面可以自由翘曲。因此，边界条件为：

v(0,t)＝v(L,t)＝0,v″(0,t)＝v″(L,t)＝0 (11a,b)

w(0,t)＝w(L,t)＝0,w″(0,t)＝w″(L,t)＝0 (12a,b)

θ(0,t)＝θ(L,t)＝0,θ″(0,t)＝θ″(L,t)＝0 (13a,b)

对于零初始条件：

对于规定的边界条件，薄壁箱梁的垂直、横向和扭转位移可以近似为

其中Z

其中ω

和Ω

显然，公式(20)中的竖向振动与公式(21)-(22)中的其他两个振动是不耦合的，可以独立求解。

下面将首先重点讨论式(21)-(22)中的横向-扭转耦合方程的解法。公式(21)-(22)的一般解法由两部分组成，即齐次解和特解。齐次解与系统的自由振动有关，而特定解则与系统在外部载荷作用下的受迫振动有关。首先求解齐次解。

让

或以矩阵形式：

要使式(27)存在非零解，系数矩阵的行列式应为零。这意味着以下特征方程对横向-扭转耦合运动成立：

其中α为偏移参数，定义为α＝η

可以将公式(28)重写为

有两个根：

这里，

定义第n阶"低"和"高"阻尼比：

将公式(32a,b)代入公式(29)，可以得到以下两个二次方程：

根据前面的方程可以求出四个根：

和

根据公式(28)中的特征方程求出的所有根，自由振动中的横向和扭转响应在模态坐标上可表示为

其中，上标"h"表示齐次解；

利用欧拉公式，公式(37)和(38)可进一步改写如下：

要使响应真实，公式(39)和(40)中的振动振幅

此外，通过将式(41)-(42)代入式(21)-(22)，可以证明横向和扭转振动系数

梁的特解与外部载荷有关。如公式(22)所示，当横梁位于行驶的车辆下方时，横梁将受到涉及驱动频率的荷载激励Ω

将式(43)-(44)代入式(21)-(22)中的控制方程可以得到系数

但是，式(42)中的齐次解系数是通过将特解与齐次解结合代入式(15)-(16)中的初始条件确定的，其结果见下述公式：

一旦得到横向响应的齐次和特解式(41)和(43)以及扭转响应的齐次和特解式(42)和(44)，薄壁箱梁的一般横向位移和扭转位移就是这两种解的简单相加：

接下来将求解式(20)中的薄壁箱梁非耦合竖向振动。与上述类似，薄壁箱梁在移动车辆作用下的竖向响应包括齐次解和特解。首先求出特解，然后将齐次解与特解结合，满足式(14)中的初始条件，即可得到齐次解。竖向运动的最终表达式为

其中，竖向阻尼比ξ

C

梁的横向、扭转和垂直加速度响应可通过对式(45)、(46)和(47)中的相应表达式进行二阶导数求得。

1.2接触点响应的闭合解

为了给出车桥接触响应的一致表达式，引入一个虚拟阻尼比ξ

在虚拟阻尼比为ξ

基于刚性截面的假设，薄壁箱梁在两个车轮作用下的左、右接触响应(见图2)可计算为

将公式(49)和(50)代入公式(51)即可得出左、右接触位移为

其中ω

/>

四个阻尼比ξ

和/>

其中，i＝L，e

1.3车辆响应的闭合解

对于移动的测试车辆，为表述方便这里将只显示竖向响应。摇摆响应可以用类似的方法得出。将式(52)中的左、右接触位移和由式(52)得出的速度响应代入式(7)，可得出车辆的竖向运动方程为

其中系数为

和

因此，车辆的竖向位移可根据公式(58)求解为

其中

/>

同样，车辆的摇摆响应可解为

其中

从式(62)和式(63)可以看出，车辆的竖向运动包括四种不同的频率，即驱动频率Ω

如图2所示，三个竖向加速度传感器分别安装在车轴的左侧、中间和右侧。中间的传感器用于测量竖向运动，左右两个传感器用于测量摇摆运动。对于刚性对称车轴，左右车轮的加速度和，可按下式计算：

步骤二，摇摆和竖向接触响应进行计算。

竖向接触响应

实际上，车辆与桥梁接触点的响应很难测量，因为它们会随着车辆在桥梁上的移动而移动。幸运的是，它们可以根据车辆的响应并利用车辆的平衡方程

式中，G

公式(68)和(69)中的所有其他参数与参考文献“K.Shi,X.Q Mo,H.Xu,Z.LWang,S.X Hu,Y.B.Yang,Furthering extraction oftorsional-flexural frequencies forthin-wall beams from the rocking motion of a two-wheel test vehicle.Thin-Walled Struct.175(2022)109224.”中的参数相同。考虑到实地测量中车辆传感器所收集数据的离散性，用以下离散公式来近似计算式(66)和(67)：

其中，Δt为时间步长，

摇摆和竖向接触响应

现有技术中通过使用单自由度单轴车辆来识别薄壁箱梁的扭转-弯曲频率。后来，这一方法被扩展到从双自由度双轮测试车辆的摇摆运动中提取薄壁箱梁的前几个弯曲和扭转频率。在上述工作中，竖向频率总是与试验车辆或接触响应的扭转-弯曲频率混合在一起。此外，还基于刚性截面假设将竖向、扭转响应与测试车辆左、右车轮的接触响应分离开来。遗憾的是，上述两项研究均未考虑桥梁阻尼。加入桥梁阻尼后，本发明的目的是为该问题提出一种新的、通用的闭式解决方案，该方案可从车辆两个车轮的残余接触响应中获取独立于竖向频率的扭转-弯曲频率。

在实际应用中，公式(70)-(71)已提供了两个车轮的接触响应

其性质也是离散的。那么薄壁箱梁的竖向接触点响应为

公式(72)的扭转响应只涉及梁的扭转-弯曲耦合频率，公式(73)的竖向响应只涉及梁的垂直频率。因此，利用公式(72)和(73)可以分别识别出梁的竖向频率和弯扭耦合频率，而无需事先了解相关的模态振型。本发明主要关注利用薄壁箱梁的扭转接触点响应识别扭转-弯曲耦合频率。必要时，也可以利用竖向接触点响应来识别竖向频率。

步骤三，通过有限元分析方法对上述步骤中推导出的闭合解进行验证。

本发明使用有限元来验证理论上得出的解决方案，并将其作为参数分析的工具。图3所示的三维车桥相互作用(VBI)单元是从传统的梁单元扩展而来的。它的长度为l

对于单对称薄壁箱梁横截面，全局质量矩阵和刚度矩阵中竖向运动相关的部分与扭转-弯曲运动相关的部分是不耦合的，基于瑞利阻尼假设的全局阻尼矩阵的各部分也是不耦合的。因此，全局阻尼矩阵的计算公式为[C

在薄壁箱梁两端施加边界条件后，车桥耦合系统的全局运动方程(包括表面粗糙度)建立如下：

/>

其中，[M]、[K]和[C]分别表示全局质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵，下标"v"和"b"分别表示与车辆和桥梁有关的量或它们之间的耦合量；

步骤四，结合有限元分析的结果对解进行数值验证。

此处采用的薄壁箱梁长度为32米，采用简支撑。梁的特性及其横截面尺寸见参考现有文献“Y.B.Yang,X.Q Mo,K.Shi,Z.L.Wang,H.Xu,Y.T.Wu,Scanning torsional-flexural frequencies of thin-walled box girders with rough surface fromvehicles’residual contact response:Theoretical study.Thin-Walled Struct.169(2021)108332.”。竖向振动和扭转振动的阻尼比均设置为0.04。表面粗糙度暂时忽略。根据收敛分析，使用前30阶模态足以获得桥梁和车辆的精确响应。对于上述文献中给出的桥梁属性，前五阶模态可以用于计算。表1列出了前五阶弯扭耦合频率。试验车辆的基本参数见参考现有文献“K.Shi,X.Q Mo,H.Xu,Z.L Wang,S.X Hu,Y.B.Yang,Furthering extractionof torsional-flexural frequencies for thin-wall beams from the rocking motionof atwo-wheel test vehicle.Thin-Walled Struct.175(2022)109224.”。其竖向频率和摇摆频率分别为3.63Hz和1.51Hz。在数值分析中，采用的梁单元长度为＝1.0m，车辆的速度为10m/s。

表1桥梁的自振频率

图4(a)-(c)分别绘制了该桥跨中竖向、横向和扭转运动的解析解和有限元结果得到的加速度响应对比图。显然，解析解和数值解法之间取得了极好的一致，这表明解析解是可靠的。

图5(a)和(b)分别绘制了车辆的竖向加速度谱和摇摆加速度谱。两种解法再次取得了极好的一致性，表明步骤一中得出的理论解法是可靠的。从图5(a)中的车辆竖向频谱可以确定测试车辆的竖向频率和薄壁箱梁的第一阶竖向频率。然而，从图5(b)的摇摆频谱中只能获得车辆的摇摆频率。由于车辆频谱中车辆频率的掩蔽效应，无法从移动车辆的竖向或摇摆响应中识别出梁的弯扭耦合频率。

为避免车辆的遮蔽效应，将使用两个车轮的接触点响应来提取桥频率。实际上，只要通过记录数据或有限元模拟获得车辆的竖向和摇摆响应，就可以使用公式(70)和(71)中的离散公式计算接触点响应。为了进行验证，在图5(a)和(b)中分别比较了利用有限元法计算得到的车辆竖向和摇摆响应，通过公式(70)和(71)计算出的接触响应谱，以及完全基于有限元的左轮和右轮接触响应谱。可以看出，左轮和右轮的接触响应在频域上也取得了很好的一致性，这验证了步骤二中介绍的离散接触响应公式的正确性。

由于去除了车辆频率，图6(a)和(b)中的接触响应与图5(a)和(b)中的车辆响应相比有了很大改进，可以清晰地识别出两个竖向频率(红色显示)和三个弯扭耦合频率(黑色显示)。车辆频率被移除这一事实与公式(52)中的分析接触表达式是一致的。这个例子证明了使用接触响应识别薄壁箱梁的弯扭耦合频率的优越性。

图7比较了通过公式(72)和有限元求得的桥梁摇摆接触响应的FFT频谱。显而易见，两种解法之间达到了极好的一致，这表明公式(72)中基于接触的摇摆响应是可靠的。值得注意的是，即使考虑到薄壁箱梁的阻尼，前五个弯扭耦合频率

另一个问题是，使用公式(72)得出的桥梁摇摆接触响应中只有弯扭耦合频率，而没有竖向频率。同样，从公式(73)所示的竖向接触响应中也可以获取桥梁的竖向频率，而非弯扭耦合频率。为了说明这一点，图8中绘制了由公式(73)和有限元计算得出的竖向接触响应的FFT频谱。同样，两种解法之间的极佳一致性也表明了步骤二中推导的公式(73)的可靠性。

总之，薄壁箱梁的扭转频率和竖向频率可以分别使用公式(72)和(73)进行计算，而这两个公式仅仅是基于刚性横截面的假设推导出来的。

步骤五，对阻尼影响薄壁箱梁动态响应及其频率识别进行分析。

一致桥梁阻尼

作为一种固有特性，桥梁的阻尼可以大大降低其在外部激励下的振动。当然，在使用移动测试车辆检测桥梁特性时，这种衰减特性也会传导到车辆和接触响应中。本发明首先研究一致桥梁阻尼对提取薄壁箱梁扭曲频率的影响。这里的"一致"是指竖向运动和扭转-弯曲运动的阻尼比相同。除了之前对竖向运动和扭转-弯曲运动采用的0.04阻尼比(即

图9(a)和(b)分别绘制了不同桥梁阻尼比下的摇摆接触加速度及其最大值。显而易见，随着桥梁阻尼比的增大，摇摆接触响应迅速减小。特别是，根据图9(b)，当阻尼比从零增加到0.01时，最大摇摆接触加速度从1.8×10

为了评估阻尼如何影响桥梁频率的识别，图10中绘制了不同桥梁阻尼比下摇摆接触加速度响应的FFT频谱。可以看出，在零阻尼情况下，前七个弯扭耦合频率

双向桥梁阻尼

上述结果表明桥梁阻尼可以显著降低车辆通过桥梁时的最大摇摆接触加速度。对于单对称薄壁箱梁来说，竖向运动的阻尼比可能与扭转-弯曲运动的阻尼比不同。接下来将研究桥梁阻尼对提取薄壁箱梁扭曲频率的双向影响。为此考虑四种双向阻尼比情况下的垂直运动和扭转-弯曲运动，如表2所列，其中包括一致阻尼比情况，即

表2双向桥梁阻尼比工况

图11(a)和(b)分别绘制了双向桥梁阻尼比下竖向和摇摆接触加速度响应的FFT频谱。对于图11(a)中的竖向响应，随着阻尼比ξ

同样，对于图11(b)中的摇摆接触响应，当阻尼比

从图11(a)的竖向响应中，可以很容易地识别出零阻尼情况下(即工况3和4)的前四个竖向频率ω

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其进行限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而这些修改或者等同替换亦不能使修改后的技术方案脱离本发明技术方案的精神和范围。