一种不固定形状参数的威布尔分布参数估计迭代方法

技术领域

本发明属于三参数威布尔分布参数估计方法技术领域，涉及一种不固定形状参数的威布尔分布参数估计迭代方法。

背景技术

威布尔分布成为近年来研究寿命概率最为广泛的参数模型。威布尔分布是由瑞典科学家Weibull提出。他按照最弱链模型推算出该分布。威布尔分布因其数学的便利性，尤其是通过累积分布取两次对数变换将其线性化，使得参数拟合较为方便。很多学者更多专注的是两参数威布尔分布的应用和参数估计，但是对于长寿命、高可靠性的产品，三参数威布尔分布更能够逼近实际，更富于弹性，以及更能够充分地描述失效机理然。

三参数和两参数威布尔分布的区别在于位置参数，它沿水平坐标移动。然而，包含位置参数会导致参数估计的有效推断尤为困难。当形状参数小于2或等于2时，不满足极大似然估计(MLE)渐近性的经典正则性条件，所以此时极大似然方法不适合估计三参数威布尔分布的参数。常用的参数估计方法还有相关系数法、最小偏差法等。

当样本量较小时，经典的统计分析可能导致估计结果的不稳定性或不准确性。因此，对于样本较小时，发明一种更精确、更稳健、更有效的三参数威布尔分布数估计方法具有重要意义。

发明内容

为解决上述技术问题，本发明通过建立形状参数、尺度参数、位置参数与其他参数之间的关系，提出了一种新的三参数威布尔分布的参数估计的方法。

本发明的一种不固定形状参数的威布尔分布参数估计迭代方法，包括：

步骤1：确定形状参数与位置参数、样本量、样本标准差及样本与对应秩的相关系数之间的关系式；

步骤2：根据极大似然法确定尺度参数与样本、位置参数、形状参数之间的关系式；

步骤3：根据三参数威布尔分布最小次序统计量的期望，确定位置参数的无偏估计；

步骤4：设位置参数的初始估计值为0，代入步骤1的关系式中得到形状参数的初始估计值并代入步骤2的关系式中获得尺度参数的初始估计值，再将形状参数的初始估计值和尺度参数的初始估计值代入步骤3获得新的位置参数的估计值，如此多次迭代最终获得稳定的形状参数、位置参数和尺度参数。

在本发明的不固定形状参数的威布尔分布参数估计迭代方法中，所述步骤1确定形状参数与位置参数、样本量、样本标准差及样本和对应秩的相关系数之间的关系式的推导过程为：

(1)服从三参数威布尔分布W(β,η,γ)的随机变量T概率密度函数为：

式中，β,η,γ其中分布是威布尔分布的形状参数、尺度参数和位置参数，满足γ＞0,β＞0,η＞0,t≥γ；t

(2)三参数威布尔分布的概率分布函数为：

(3)样本t

式中，corr是相关系数，μ为期望μ＝E(t)，σ

(4)根据式(1)和(2)，可得：

令t-γ＝x则：

所以得到：

将式(8)带入式(3)得到：

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样本变异系数

在本发明的不固定形状参数的威布尔分布参数估计迭代方法中，所述步骤2根据极大似然法确定尺度参数与样本、位置参数、形状参数之间的关系具体为：

(1)极大似然法主要是求似然函数的极大值等效为求对数似然函数的极大值，三参数威布尔分布参数对数似然函数的表达式为：

(2)求解最大值，使每个参数的偏导等于0，这里对位置参数求偏导为0，则：

化简得到：

在本发明的不固定形状参数的威布尔分布参数估计迭代方法中，所述步骤3根据三参数威布尔分布最小次序统计量的期望，确定位置参数的无偏估计具体为：

(1)根据f(t

(2)三参数威布尔分布最小样本值t

(3)位置参数的无偏估计为：

其中，n为样本量，其中Γ(x)为伽马函数。

在本发明的不固定形状参数的威布尔分布参数估计迭代方法中，所述步骤4具体为：

步骤4.1：用Monte Carlo随机抽取三参数威布尔分布W(β,η,γ)，获得n个样本，分别为t

步骤4.2：设置迭代次序N取1000，两次迭代结果之差的绝对值取10

步骤4.3：将位置参数的初始估计值设置为0，即：

步骤4.4：计算样本变异系数CV、样本标准差S、样本和对应秩的相关系数ρ，将样本量n和位置参数的初始估计值

步骤4.5：将形状参数的初始估计值

步骤4.6：将形状参数的初始估计值

步骤4.7：将新的位置参数的估计值

步骤4.8：将新的位置参数的估计值

重复步骤4.6-4.8，计算出本次的位置参数的估计值、形状参数的估计值和尺度参数的估计值，与上次计算的位置参数的估计值、形状参数的估计值、尺度参数的估计值分别进行对比，若三个参数的两次迭代结果之差的绝对值都小于10

在本发明的不固定形状参数的威布尔分布参数估计迭代方法中，采用不固定形状参数迭代方法进行三参数威布尔分布参数估计，多次迭代后位置参数逐渐增大到稳定值即为位置参数的估计值，尺度参数逐渐减小到稳定值即为尺度参数的估计值，形状参数逐渐减小到稳定值即为形状参数的估计值。

在本发明的不固定形状参数的威布尔分布参数估计迭代方法中，样本量为10-30个。

本发明的一种不固定形状参数的威布尔分布参数估计迭代方法，采用不固定形状参数迭代方法进行三参数威布尔分布参数估计，位置参数逐渐增大到稳定值即位置参数估计值，尺度参数逐渐减小到稳定值即尺度参数估计值，形状参数逐渐减小到稳定值即为形状参数估计值，迭代过程简单且快速收敛，可有效估计出威布尔分布的三个参数。在小样本估计时，此不固定形状参数的迭代方法与传统的极大似然方法、矩法及相关系数法相比更加准确、更加稳定，更适用于工程应用。

附图说明

图1是一种不固定形状参数的威布尔分布参数估计迭代方法的流程图；

图2是本发明中随机抽取样本进行点估计的迭代图。

具体实施方式

如图1所示，本发明的一种不固定形状参数的威布尔分布参数估计迭代方法，包括：

步骤1：确定形状参数与位置参数、样本量、样本标准差及样本与对应秩的相关系数之间的关系式，具体推导过程如下：

(1)服从三参数威布尔分布W(β,η,γ)的随机变量T概率密度函数为：

式中，β,η,γ其中分布是威布尔分布的形状参数、尺度参数和位置参数，满足γ＞0,β＞0,η＞0,t≥γ；t

(2)三参数威布尔分布的概率分布函数为：

(3)根据文献可知，样本t

式中，corr是相关系数，μ为期望μ＝E(t)，σ

(4)根据式(1)和(2)，可得：

令t-γ＝x则：

所以得到：

将式(8)带入式(3)得到：

样本变异系数

步骤2：根据极大似然法确定尺度参数与样本、位置参数、形状参数之间的关系式，具体为：

(1)极大似然法主要是求似然函数的极大值等效为求对数似然函数的极大值，三参数威布尔分布参数对数似然函数的表达式为：

(2)求解最大值，使每个参数的偏导等于0，这里对位置参数求偏导为0，则：

化简得到：

步骤3：根据三参数威布尔分布最小次序统计量的期望，确定位置参数的无偏估计，具体为；

(1)根据f(t

(2)三参数威布尔分布最小样本值t

(3)位置参数的无偏估计为：

其中，Γ(x)为伽马函数。

步骤4：设位置参数的初始估计值为0，代入步骤1的关系式中得到形状参数的初始估计值并代入步骤2的关系式中获得尺度参数的初始估计值，再将形状参数的初始估计值和尺度参数的初始估计值代入步骤3获得新的位置参数的估计值，如此多次迭代最终获得稳定的形状参数、位置参数和尺度参数。所述步骤4具体为：

步骤4.1：用Monte Carlo随机抽取三参数威布尔分布W(2,1000,1000)，即β＝2,η＝1000,γ＝1000，随机抽取20个样本，分别为：1146.80、1316.43、1347.07、1389.19、1465.09、1543.70、1581.98、1694.12、1703.22、1741.89、1831.99、1832.53、1844.72、1856.81、1867.59、2194.74、2303.34、2335.75、2867.80、2884.61；

具体实施时，样本量为10-30个。

步骤4.2：设置迭代次序N取1000，两次迭代结果之差的绝对值取10

步骤4.3：将位置参数的初始估计值设置为0，即：

步骤4.4：计算样本变异系数CV、样本标准差S、样本与对应秩的相关系数ρ，将样本量n和位置参数的初始估计值

步骤4.5：将形状参数的初始估计值

步骤4.6：将形状参数的初始估计值

步骤4.7：将新的位置参数的估计值

步骤4.8：将新的位置参数的估计值

重复步骤4.6-4.8，计算出本次的位置参数的估计值、形状参数的估计值和尺度参数的估计值，与上次计算的位置参数的估计值、形状参数的估计值、尺度参数的估计值分别进行对比，若三个参数的两次迭代结果之差的绝对值都小于10

具体实施时，随机抽取了1组样本1146.80,1316.43,1347.07,1389.19,1465.09,1543.70,1581.98,1694.12,1703.22,1741.89,1831.99,1832.53,1844.72,1856.81,1867.59,2194.74,2303.34,2335.75,2867.80,2884.61，估计的迭代图如图2所示。

如图2所示，通过随机抽取的1组样本进行验证，在样本量为20时，位置参数逐渐增大到稳定值即位置参数估计值

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明的思想，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。