一种层次分析法平均随机一致性指标RI的计算方法
文献发布时间:2023-06-19 09:38:30
技术领域
本发明属于系统工程技术领域,涉及一种层次分析法中的平均随机一致性指标RI的计算方法,并给出了层次分析法中指数标度法的平均随机一致性指标RI值。
背景技术
层次分析法又称为AHP(Analytical Hierarchy Process)法,是上世纪70年代美国运筹学方面的学者T.L.Saaty提出来的。AHP方法就是把问题的内存层次与联系判断量化并作出方案排序的方法。AHP方法已大量应用于各种实际问题中,对因素的两两比较采用的是称作“1-9标度法”的标度法,即两个因素的比较重要程度用1至9来表示。在应用中人们发现“1-9标度法”对两个因素重要性相差不大时,计算的两因素权重相差可能较大,于是有学者提出了“指数标度法”,使分析的权重与真实权重更接近。对于层次分析法形成的重要性比较矩阵,无论是“1-9标度法”还“指数标度法”,都要进行比较矩阵的一致性检验,进行一致性检验的前提是要知道对应的平均随机一致性指标RI。对于“1-9标度法”,相关文献已给出了平均随机一致性指标RI,可以方便地查阅使用;但“指数标度法”的平均随机一致性指标RI没有文献给出,给“指数标度法”的推广应用带来了障碍。
发明内容
(一)发明目的
本发明的目的是:提供一种层次分析法中比较矩阵的平均随机一致性指标RI的计算方法,并给出了“指数标度法”平均随机一致性指标RI值,为“指数标度法”的应用带来了方便。
(二)技术方案
为了解决上述技术问题,本发明提供一种层次分析法平均随机一致性指标RI的计算方法,其包括以下步骤:
步骤一,约定指数标度法比较重要度
步骤二,构造随机比较矩阵
让比较矩阵A中元素的随机地取指数标度(e
步骤三,采用QR方法求比较矩阵A的特征值
先将比较矩阵A变换为Hessen Berg矩阵,再应用带原点位移的QR方法进行迭代,得到比较矩阵A特征值;
步骤四,计算最大特征值的平均值λ
重复步骤二、步骤三若干次(如20000次),得到若干个绝对值最大的特征值,这若干个绝对值最大的特征值的平均值即为n阶矩阵A的最大特征值的平均值λ
步骤五,计算随机性指标RI
RI=(λ
其中:n为比较矩阵的阶数
步骤六,利用上述算法给出了指数标度法(e
利用上面的算法,本发明给出了指数标度法(e
(三)有益效果
上述技术方案所提供的层次分析法平均随机一致性指标RI的计算方法,对指数标度法的两两比较重要度进行了约定,构造指数标度法的随机比较矩阵,采用QR方法通过编程求比较矩阵A的特征值,并通过20000次的特征值计算得到最大特征值的平均值λ
附图说明
图1为本发明方法的流程图。
具体实施方式
为使本发明的目的、内容、和优点更加清楚,下面结合附图和实施例,对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。
为了得到“指数标度法”平均随机一致性指标RI值,需要对“QR方法求比较矩阵A的特征值”、“计算最大特征值的平均值λ
如图1所示,本发明所述一种层次分析法中平均随机一致性指标RI的计算方法及指数标度法的RI值,主要包括以下步骤:
步骤一,约定指数标度法比较重要度
步骤二,构造随机比较矩阵
让比较矩阵A中元素的随机地取指数标度(e
随机生成的一个3阶的指数标度比较矩阵如下:
步骤三,采用QR方法求比较矩阵A的特征值
计算矩阵A的特征值的流程如下:
(1)利用初等相似变换将一般实矩阵A∈R
(2)记
(3)如果
(4)如果m=1,则得到A的一个特征值
(5)求二阶子阵
(6)如果m=2,则得到A的两个特征值s
(7)如果
(8)如果k=L,则计算终止,未得到A的全部特征值,否则转(9);
(9)记
M
(10)置k=k+1,转(3);
(11)A的全部特征值计算完毕,停止计算。
计算得到的矩阵B的全部特征值为:[3.176-0.088-0.743i-0.088+0.743i],其绝对值最大的特征值为3.176;
用Matlab的eig(B)命令计算的结果为[3.176-0.088+0.743i-0.088-0.743i],除顺序与前者有差外,特征值是一致的,说明本发明的矩阵特征值计算算法是正确的。本发明之所以没有用Matlab工具求随机一致性指标RI值,是因为用Matlab生成随机比较矩阵求出的RI结果与文献1中的数据相差较大。
步骤四,计算最大特征值的平均值λ
重复步骤二、步骤三若干次,如20000次,得到若干个绝对值最大的特征值,这若干个绝对值最大的特征值的平均值即为n阶矩阵A的最大特征值的平均值λ
对于3阶的A,λ
步骤五,计算随机性指标RI
RI=(λ
其中:n为比较矩阵的阶数
步骤六,算法有效性确定
采用C#语言实现计算随机性指标RI功能,将本方法计算的1-9标度法的RI与文献1中的RI进行比较,误差小于1%,确定算法有效:
1-9标度法RI
步骤七,利用上述算法给出指数标度法(e
利用上面的算法,本发明给出了指数标度法(e
以上所述仅是本发明的优选实施方式,应当指出,对于本技术领域的普通技术人员来说,在不脱离本发明技术原理的前提下,还可以做出若干改进和变形,这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。
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