面向高刚度和高导热的多目标等几何多尺度拓扑优化方法

技术领域

本发明属于结构优化相关技术领域，更具体地，涉及一种面向高刚度和高导热的多目标等几何多尺度拓扑优化方法。

背景技术

多孔结构在自然界中普遍存在，如骨骼、蜂窝、海绵等，具有超轻质、冲击吸能、隔热防热等卓越的性能，可以根据应用领域的需求被灵活地设计。多尺度拓扑优化方法是一种自动寻找最优材料分布的智能设计方法，由于其广泛的设计自由度，能够设计出新颖的超出人们直觉和经验的多孔结构。而在工程应用中，往往需要多孔结构同时具有良好的承载能力和散热能力。因此，需要改进目前的多尺度拓扑优化方法使其能够设计出高刚度高热导率的多孔结构。

针对高刚度高热导率的多尺度拓扑优化方法，本领域相关技术人员已做了一些研究，如文献1：“A.Ali Musaddiq,S.Masatoshi.Toward multiphysics multiscaleconcurrent topology optimization for lightweight structures with high heatconductivity and high stiffness using MATLAB[J].Structural andMultidisciplinary Optimization,2022,65(7).”对微结构的拓扑构型以及其在多孔结构中的分布同时进行优化，使用多目标函数同时考虑多孔结构的刚度和热导率。该方法中宏微观同时优化，计算效率很低，并且该方法考虑的是微结构在多孔结构中周期均匀排列的情况，设计自由度受限，同时该方法仅研究了二维问题，没有研究三维问题。针对基于功能梯度点阵的多尺度拓扑优化方法，本领域相关技术人员也做了一些研究，如文献2：“X.Liu,L.Gao,M.Xiao,et al.Kriging-assisted design of functionally graded cellularstructures with smoothly-varying lattice unit cells[J].Computer Methods inApplied Mechanics and Engineering,2022,390.”基于Kriging代理模型实现了功能梯度点阵的多尺度拓扑优化方法，该方法考虑了点阵的逐点梯度变化，在降低计算成本的同时提高了设计自由度，然而该方法仅局限在优化多孔结构的刚度性能，没有进一步优化其热传导性能。

因此，以相对较低的计算成本以及较高的计算精度，有效地释放设计空间，设计具有梯度点阵渐变分布的三维多孔结构，同时提升多孔结构的承载性能和散热性能，是当前有待解决的研究热点问题。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种面向高刚度和高导热的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，所述方法使用水平集函数构造三重周期极小曲面点阵的原型点阵单胞，通过形状插值技术对原型点阵单胞的水平集函数进行插值以获得一系列的梯度点阵。使用基于等几何分析的均匀化法获得梯度点阵的等效弹性张量和等效导热张量，将这些数据输入Kriging元模型中构造能够预测任意等效密度梯度点阵的等效弹性张量和等效导热张量的代理模型。采用归一化线性加权的方式将静力学柔度最小和散热柔度最小的子目标进行耦合，构造多目标函数，然后采用面向高刚度和高导热的多目标等几何多尺度拓扑优化模型优化梯度点阵在宏观设计域内的分布。最后将对应的梯度点阵构型逐个填入宏观设计域中获得最终的多孔结构，同时提升多孔结构的承载能力和散热能力，实现了拓扑优化过程。

为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种面向高刚度和高导热的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，该方法主要包括以下步骤：

(1)采用基于等几何分析的均匀化方法计算待优化多孔结构的每个梯度点阵样本的等效弹性张量及等效导热张量；

(2)采用Kriging元模型对所有梯度点阵样本的等效密度及对应的等效弹性张量和等效导热张量进行拟合以构建代理模型，并采用该代理模型来预测待优化多孔结构的任意等效密度梯度点阵的等效弹性张量和等效导热张量；

(3)基于经该代理模型得到的点阵的等效弹性张量和等效导热张量构建以同时使静力学柔度和散热柔度最小为目标的多目标等几何多尺度拓扑优化模型，并采用该多目标等几何多尺度拓扑优化模型优化待优化多孔结构的宏观设计域内所有单元内梯度点阵的等效密度，进而得到优化的三维多孔结构；该多目标等几何多尺度拓扑优化模型的数学表达式为：

式中，

进一步地，

和/>

其中，U

进一步地，

其中，D

进一步地，D

其中，

进一步地，

其中，

进一步地，更新设计变量的方法为基于敏度信息的优化准则法，对应的公式为：

/>

其中，

进一步地，原型点阵单胞为三重周期极小曲面点阵，根据原型点阵单胞构造的梯度点阵样本的数量为50个，且梯度点阵样本的等效密度分布均匀间隔相等，所述梯度点阵样本的等效密度取值范围为[0.12,1]。

进一步地，基于优化得到的所有单元内梯度点阵的等效密度值，基于水平集函数以及形状插值获得每个等效密度值所对应的梯度点阵构型，然后将得到的梯度点阵构型对应地填充进每个单元中，获得最终的三维多孔结构。

进一步地，使用水平集函数构造待优化多孔结构的三重周期极小曲面点阵的原型点阵单胞，再通过形状插值方式对原型点阵单胞的水平集函数进行插值以获得所述梯度点阵；采用归一化线性加权的方式将静力学柔度最小和散热柔度最小的子目标进行耦合以构造得到多目标函数。

进一步地，基于等几何分析的均匀化法得到梯度点阵样本的等效弹性张量和等效导热张量，对应的公式为：

其中，u为位移场，|Ω

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，本发明提供的面向高刚度和高导热的多目标等几何多尺度拓扑优化方法主要具有以下有益效果：

1.本发明通过归一化线性加权的形式构造了多目标函数，能够同时考虑多孔结构的刚度性能和散热性能，能够有效地同时提升多孔结构的承载能力和散热能力。

2.本发明采用Kriging代理模型来代替均匀化法预测任意等效密度的梯度点阵的等效弹性张量和热传导张量，同时考虑的是点阵在多孔结构中梯度渐变分布的情况，因此在降低了计算成本的同时能够有效地释放设计空间。

3.本发明提供的方法采用了等几何分析方法，保证优化过程中CAD模型和CAE模型统一，消除了CAD模型与CAE模型相互转换过程中存在的几何近似误差，提高了优化过程中的计算精度。

附图说明

图1是本发明提供的一种面向高刚度和高导热的多目标等几何多尺度拓扑优化方法的流程示意图；

图2是本发明所构建的三重周期极小曲面点阵的构型示意图；

图3是本发明得到的等效弹性模量与等效密度之间的关系曲线图；

图4是本发明得到的等效热传导系数与等效密度之间的关系曲线图；

图5是本发明所构建的多孔结构设计域以及边界条件示意图；

图6是本发明所构建的图5中多孔结构不同权重构成的多目标函数下的优化结果；

图7是本发明所构建的图5中两个子目标函数权重均取0.5时多孔结构优化过程的迭代曲线示意图：

图8是本发明所构建的图5中两个子目标函数权重均取0.5时多孔结构优化后点阵填充的示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

本发明提供了一种面向高刚度和高导热的多目标等几何多尺度拓扑优化方法，所述方法主要包括以下步骤：

步骤一，采用基于等几何分析的均匀化方法计算待优化多孔结构的每个梯度点阵样本的等效弹性张量及等效导热张量。

使用水平集函数构造待优化多孔结构的三重周期极小曲面点阵的原型点阵单胞，再通过形状插值技术对原型点阵单胞的水平集函数进行插值以获得一系列的梯度点阵。使用基于等几何分析的均匀化法获得梯度点阵的等效弹性张量和等效导热张量。

基于等几何分析的均匀化法得到梯度点阵样本的等效弹性张量和等效导热张量，对应的公式为：

其中，u为位移场，|Ω

ε

其中，δu为梯度点阵中的虚位移，

步骤二，采用Kriging元模型对所有梯度点阵样本的等效密度及对应的等效弹性张量和等效导热张量进行拟合以构建代理模型，并采用该代理模型来预测待优化多孔结构的任意等效密度梯度点阵的等效弹性张量和等效导热张量。

步骤三，基于经该代理模型得到的点阵的等效弹性张量和等效导热张量构建以同时使静力学柔度和散热柔度最小为目标的多目标等几何多尺度拓扑优化模型，并采用该多目标等几何多尺度拓扑优化模型优化待优化多孔结构的宏观设计域内所有单元内梯度点阵的等效密度，进而得到优化的三维多孔结构；该多目标等几何多尺度拓扑优化模型的数学表达式为：

式中，

χ

和/>

其中，U

和/>

其中，D

D

其中，

和/>

其中，

更新设计变量的方法为基于敏度信息的优化准则法，具体为：

其中，

原型点阵单胞为三重周期极小曲面点阵，根据原型点阵单胞构造的梯度点阵样本的数量为50个，且梯度点阵样本的等效密度分布均匀间隔相等，所述梯度点阵样本的等效密度取值范围为[0.12,1]。

本实施方式中，引入等几何分析构建设计域以及网格划分，采用归一化线性加权的方式构造多目标函数。根据优化得到的所有单元内梯度点阵的等效密度值，基于水平集函数以及形状插值技术获得每个等效密度值所对应的具体梯度点阵构型，然后对应地填充进每个单元中，获得最终的三维多孔结构。

以下以具体实施例来对本发明进行进一步的详细说明。

实施例1

本实施例中待优化的多孔结构的设计域、载荷及边界条件如图4所示，为一个L＝60mm、W＝16mm、H＝60mm的长方体；其中长方体的左侧被完全固定，在右侧面的底边中心点施加一个垂直向下一个F＝1000N的力。而在整个长方体内施加功率为0.1W的均匀热载荷，在平行于y轴的四个边上固定温度T

如图1所示，本发明实施例1提供的一种面向高刚度和高导热的多目标等几何多尺度拓扑优化方法包括如下步骤：

步骤一，通过水平集函数描述等效密度为0.12的三重周期极小曲面点阵的拓扑构型，将其作为原型点阵单胞，对该原型点阵单胞采用形状插值技术获得一系列构型相似的梯度点阵样本，采用基于等几何分析的均匀化法获得所有梯度点阵样本的等效弹性张量和热传导张量。

具体包括以下子步骤：

(1.1)通过水平集函数描述三重周期极小曲面原型点阵单胞的拓扑构型，具体的公式为：

其中，x表示在区域H内任意一点的全局坐标，H是一个规定的设计区域，

所述三重周期极小曲面点阵的显式水平集函数为：

φ

其中，x、y和z为欧氏空间中的点的三维坐标，t为决定SGSH点阵等效密度的变量。

(1.2)对该三重周期极小曲面原型点阵单胞使用形状插值技术获得50个等效密度在[0.12,1]区间内均匀分布的梯度点阵样本，形状插值技术的公式为：

其中，φ

(1.3)采用基于等几何分析的均匀化法计算所有梯度点阵样本的等效弹性模量和热传导张量，对应的公式为：

其中，u为位移场，|Ω

ε

其中，δu为梯度点阵中的虚位移，

步骤二，将50个梯度点阵样本的等效密度以及对应的等效弹性张量和热传导张量输入Kriging元模型中进行拟合，以构造能够预测任意等效密度梯度点阵的等效弹性张量和热传导张量的代理模型，从而可以直接获得任意等效密度的梯度点阵的等效弹性张量和热传导张量，大幅提高了计算效率。

步骤三，引入等几何分析来构建设计域以及网格划分，采用归一化线性加权的方式构造多目标函数，进而基于经该代理模型得到的点阵的等效弹性张量和等效导热张量构建多目标等几何多尺度拓扑优化模型，把静力学柔度最小和散热柔度最小两个子目标耦合起来同时考虑，采用优化准则法优化所有单元内梯度点阵的等效密度，使多孔结果同时具有较好的承载能力和散热能力。

具体包括以下子步骤：

(3.1)面向高刚度和高导热的多目标等几何多尺度拓扑优化模型的数学表达式为：

其中，

具体地，

其中，U

其中，D

具体地，D

其中，

其中，

(3.2)计算多目标函数及体积约束条件对设计变量的灵敏度，多目标函数对设计变量的灵敏度表达式为：

其中，

进一步地，体积约束条件对设计变量的灵敏度计算公式为：

在更新设计变量时通过采用相邻控制点密度的均值代替当前控制点密度的方式进行过滤，以避免出现棋盘格、网格依赖性等数值不稳定现象，在这里过滤半径取1.5。

(3.3)将步骤(3.2)获得的多目标函数及体积约束条件对设计变量的灵敏度带入优化准则法中用于更新设计变量。其中，采用基于梯度的启发式准则法更新设计变量，对应的公式为：

其中，

其中，

(3.4)根据两步迭代之间设计变量的最大改变值来构造收敛条件，如果两次迭代之间设计变量的最大改变值小于1％或者迭代步数达到180步，则停止迭代，输出设计域所有单元内梯度点阵的等效密度，如果不满足收敛条件，则返回步骤(3.1)继续更新设计变量。

步骤四，根据步骤三满足收敛条件后输出的优化后所有单元内梯度点阵的等效密度，基于水平集函数以及形状插值技术获得每个单元等效密度对应的梯度点阵构型，并分别填入对应的单元中，获得最终的三维多孔结构，实现了拓扑优化过程。

请参阅图2至图8，以下以三维方形板的设计来进一步说明本发明。

如图2所示为三重周期极小曲面点阵的拓扑构型示意图。如图3及图4所示为根据梯度点阵样本所对应的等效密度、等效弹性张量以及等效热传导张量所构造Kriging代理模型的示意图，其中铝合金被选作结构材料，其杨氏模量为70GPa，热传导系数为120W/(m·K)，泊松比为0.3。可以看出梯度点阵样本的等效密度在[0.12,1]区间内均匀排列。

如图5所示为L＝60mm、W＝16mm、H＝60mm的方形板设计域。其中长方体的左侧被完全固定，在右侧面的底边中心点施加一个垂直向下一个F＝1000N的力。而在整个长方体内施加功率为0.1W的均匀热载荷，在平行于y轴的四个边上固定温度T

如图6所示为不同权重构成的多目标函数下的优化结果，其中横坐标为静力学柔度，纵坐标为热柔度。可以看出，这些优化结果均为不同权重取值下的帕累托最优解，一起构成了帕累托最优前沿，明显地显现出热柔度和静力学柔度两个子目标之间的权衡。从性能参数上可以发现，w

如图7所示为w

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。