一种基于里兹法的功能梯度材料的半解析分析方法

技术领域

本发明属于力学建模与分析领域，具体涉及一种基于里兹法的功能梯度材料的半解析分析方法。

背景技术

随着飞行器设计技术的发展，飞行器的飞行速度的极限也逐渐被突破，很多飞行器都达到了高超声速的范围。而高速飞行给飞行器设计又带来了很多新的挑战。在高速飞行的过程中，飞行器的表面与空气会产生剧烈的摩擦，产生大量的气动热，使得飞行器表面可达到上千度的高温。为了抵御如此高的温度，通常都需要在表面铺设热防护材料，而不同材料之间由于物理属性存在突变，极易导致应力集中、剥离、分层等现象。针对这一现象，功能梯度材料(Functionally Graded Materials,FGM)的思想便应运而生，即两种不同的材料通过指定的连续函数的分布规律进行混合，使得物理属性可以实现连续变化。而功能梯度材料这种新的材料形式，与传统的均匀材料相比，有着很大不同：

首先，在功能梯度材料中，材料属性不再是一个常值，而是随着空间位置而发生变化，需要先将功能梯度材料的材料属性通过两种组分材料的属性表示出来。

其次，由于材料属性在厚度方向上不均匀，导致在受载下，对称面的应变并不为0，即中性面并不在对称面上，经典板理论中，横向位移为0的假设并不成立，不能直接使用现有的均匀板理论。

此外，功能梯度材料的热传导系数也同样随空间位置而变化，稳态热传导微分方程中的热传导系数不再为常数，微分方程的性质从线性微分方程变化为非线性微分方程，需要对功能梯度材料的温度场进行表征。

还有，功能梯度材料由于材料属性并不是均匀的，而是与空间位置相关的，在积分时，形式更加复杂，导致很多有关功能梯度材料的物理量会有很复杂的响应。

目前国内外对功能梯度材料的力学性能的研究主要可分为解析/半解析法和数值解法。其中，数值解法包括有限元法，无网格法，广义微分求积法等。数值解法中，由于功能梯度材料沿厚度方向材料属性的变化很大，为了更精确地模拟功能梯度材料的属性，需要在厚度方向上离散的节点很多，网格量很大，计算效率很低。而解析/半解析法中，目前大多数研究都是通过平衡方程的形式推导出偏微分方程，再通过Galerkin法离散得到常微分方程组或代数方程组进行求解，而平衡方程的建立需要对该力学系统更为熟悉，且不容易快速扩展，Galerkin法属于加权余量法，得到的未知系数物理意义不清晰。

发明内容

为了解决上述问题，本发明提供一种基于里兹法的功能梯度材料的半解析分析方法。

本发明的技术方案如下：

一种基于里兹法的功能梯度材料的半解析分析方法，所述方法包括以下步骤：

S1获取功能梯度材料的位移边界条件，基于所述位移边界条件获得位移试函数；其中位移试函数由位移系数和位移基函数的乘积构成；

S2通过计算模块计算所述功能梯度材料的各种能量；本发明将不同种类的能量进行了模块法处理，可以分门别类地单独计算各种能量，并在各个能量计算模块中传递共用的物理量信息，并根据功能梯度材料的特点，将每一种能量形式进行特殊处理，并将各能量计算模块有机组合在一起，形成信息交互。而在力学系统中，与结构自身关系最密切的就是应变能，而对于功能梯度材料，由于其工作环境经常在高温中，热对结构的影响也很重要。

S3将S2计算的各种能量通过哈密顿原理联系起来，得到总的能量泛函，实际的可存在的物理系统的能量泛函的变分为0；

S4根据变分法原理，总的能量泛函的变分为0，等价于，对各个位移系数求得的偏导数为0，由此可得到关于位移系数的常微分方程组或代数方程组，直接求解该方程组可得到位移系数；

S5基于S4得到的位移系数求解位移试函数，得到所述功能梯度材料的所有响应物理量。

进一步地，所述S2中计算模块包括热计算模块和应变能计算模块。

进一步地，所述热计算模块具体为：

在给定的温度边界条件下，通过求解非线性常微分方程得到内部温度场与空间位置的表达式；

通过新的弹性模量和热膨胀系数，计算热应力；

将热应力视为压缩载荷，在功能梯度材料总的计算域内进行积分，得到热应力带来的压缩载荷所作的功，即为热应力对功能梯度材料的能量影响。

进一步的，所述热计算模块还包括：

如果需要考虑材料属性与温度相关的特点，则需要将求得的温度场的表达式，代入材料属性随温度变化的函数关系式中，得到新的材料属性，并将新的与温度相关的材料属性输出出来。

进一步的，所述应变能计算模块具体为：

首先根据位移试函数计算功能梯度材料的几何参数，所述几何参数包括斜率和曲率；

根据计算得到的功能梯度材料内部的材料属性与空间位置的关系，得到物理中面的位置；

根据几何参数和物理中面位置，得到所述功能梯度材料内部的应变；

根据功能梯度材料的物理属性，得到所述功能梯度材料内部的应力；

根据上两个步骤得到的应力与应变的乘积，在功能梯度材料的计算域内进行积分，得到所述功能梯度材料的应变能。

进一步的，所述物理中面的位置为应变为0处的平面的位置。

本发明的技术效果：

(1)流程化，模块化，将各项因素对力学系统的影响通过能量的形式表示，可以方便得到功能梯度材料中；

(2)建模简单，通过基本的物理概念便可建立得到能量表达式，进而得到常微分方程组或代数方程组，完成求解；

(3)得到的结果形式简单，求解速度快，可以更方便得到各物理量对力学性能的影响；

(4)可以考虑热环境对功能梯度材料的影响，包括热应力带来的载荷和温度对材料属性的影响。

附图说明

附图大体上通过举例而不是限制的方式示出各种实施例，并且与说明书以及权利要求书一起用于对所发明的实施例进行说明。在适当的时候，在所有附图中使用相同的附图标记指代同一或相似的部分。这样的实施例是例证性的，而并非旨在作为本装置或方法的穷尽或排他实施例。

图1示出了本发明的总计算流程示意图；

图2示出了本发明的热计算模块流程示意图；

图3示出了本发明的应变能计算模块流程示意图。

具体实施方式

需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。下面将参考附图并结合实施例来详细说明本申请。

本发明以四边简支的幂函数型分布的功能梯度材料薄板为例。

该功能梯度材料板的几何尺寸分别为长a、宽b、厚h，组分材料的属性可分别表示为P

步骤一，在该位移边界条件下，位移试函数可表示为

步骤二，运行各个能量计算模块

2.1进入热计算模块。

(1)由于功能梯度材料的热传导系数与空间位置相关，热传导控制方程变为

(2)然后，如果考虑材料属性与温度相关的性质，即P(T)＝P

(3)进而可得到热应力，为σ

(4)热应力对该功能梯度材料板的影响可通过热应力带来的压缩载荷作功而得

2.2再通过应变能计算模块,板理论使用经典板理论，即忽略横向剪切应力影响，可将热计算模块得到的与温度相关的材料属性传入。

(1)功能梯度材料的斜率和曲率的几何信息，可根据位移试函数计算为

其中i,j为x或y，其中β为几何斜率，k为几何曲率。

(2)引入物理中面的概念，因为功能梯度材料的材料属性并不关于几何中面对称，所以在受载时，几何中面的应变不为0。通过计算几何中面，计算应变为0的位置，z

(3-4)可根据物理中面的定义，表示出应变和应力(以x方向为例)

式中，ε为应变，σ为应力。

(5)则可据此计算出该功能梯度材料的应变能，并输出。

步骤三，由哈密顿原理可知，实际物理系统的δ(U-W)＝0，式中U为应变能，W为外力作功。

步骤四，将各种能量代入，可得到关于位移系数的F(c

步骤五，将c

以上所述，仅为本发明优选的具体实施方式，但本发明的保护范围不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。