一种数学题目及其解答过程的生成方法

技术领域

本发明涉及电子信息技术领域，具体涉及一种数学题目及其解答过程的生成方法。

背景技术

随着认知理论与心理计量学技术在心理与教育测量学上的不断尝试与应用，一些由理论驱动的测量模式已经在计算机自动化题目生成上表现出了非常不错的效果。计算机自动化题目生成作为一种以题目认知加工理论为基础的原则性题目设计模式，将理论驱动的测量模式融入计算机化题目生成，通过理论分析和实证研究，建立测验建构的内在表征与测验题目之间的对应关系，能够更深入地挖掘在被试的作答反应模式下提供的更丰富的信息，进而详细说明被试者表现的潜在认知基础，更为准确地提供后继决策和干预措施。

心理与教育测量模型的融合，给计算机自动化题目生成带来了许多优良的性质与强劲活力。利用这些优良性质，可以建设起大型优质题库，并可以按测验精度目标编制各种计算机化自适应测验。但是获得这些优良性质必须解决测量模型中的一个基础问题，即参数估计问题。现有方法通常采用极大似然估计法和边际极大似然估计法进行参数估计，其中极大似然估计法的原理是分两步进行参数估计：第一步，假设题目参数已知，只对被试参数进行估计；第二步，将估计出的被试参数值假设为真实值，只对题目参数进行估计。将这两个步骤反复循环进行，直至参数估计值达到稳定为止。该方法存在两条明显缺点：其一是由于牛顿-拉夫逊迭代算法的应用需要对所有参数的似然函数的二阶导数矩阵进行求逆，这在大样本下的计算量是巨大的；其二是为使得项目参数估计的精度更高，需要获得更多被试作答样本，这会增加被试参数的数量，可能会导致参数估计不一致的问题。而边际极大似然估计法，则是通过引入被试参数的总体分布，将被试参数从概率模型中积分出来，以获得关于项目参数的边际分布，从而获得一致的项目参数估计。边际极大似然估计的最大缺点是运算量很大，需要进行大量的积分运算，只要项目数量稍大一点，这个方法就无法使用。虽然采取边际极大似然估计的方法能够获得一致的项目参数估计，但对于某些数据集包含了不正常反应（例如被试在作答过程中存在作弊等情况）产生的数据，项目参数的估计会产生偏离，在这种情况下使用边际极大似然估计方法就不能解决。

发明内容

本发明的目的是为了针对现有技术的不足，避免项目参数估计出现偏离，提供一种数学题目及其解答过程的生成方法，该方法使用边际贝叶斯参数估计法，能够在参数估计过程中防止不合理估计值的产生，从而根据输入的题目测量内容、考查知识和相关特征参数，生成优质的数学题目和解答过程。

为实现上述技术目的，本发明采用如下技术方案。

一种数学题目及其解答过程的生成方法，包括以下步骤：

步骤1、量化分析数学题目的特征，得到包含数学题目所属章节与题目特征的数据集；

步骤2、基于矩阵初等变换构建用于数学题目及其解答过程生成的框架和一般化数学模型；

步骤3、根据步骤2中构建的数学题目及其解答过程生成框架和模型，综合步骤1中所得包含数学题目所属章节与题目特征的数据集，设计生成数学题目及其解答过程的算法；

步骤4、根据步骤3中所设计的数学题目及其解答过程生成算法，输入数学题目的测量内容、考查知识和相关特征参数，输出数学题目及其详细解答过程；

步骤5、量化分析步骤4中输出的数学题目难度和相关测量学指标，评价所生成数学题目的质量。

具体的，步骤1中所述量化分析数学题目的特征，得到包含数学题目所属章节与题目特征的数据集，过程如下：

步骤1.1、将已有数学题目按照章节进行分类，综合分析被试者对每个章节数学题目的认知加工过程，并人工标定影响每个认知加工过程的数学题目刺激特征，将所有标定的刺激特征组合起来，构成该章节数学题目刺激特征集合，记为

步骤1.2、使用经步骤1.1量化分析后得到的数学题目特征二元组

进一步地，步骤1.1中所述应用统计学方法量化分析刺激特征

步骤1.11、人工按照数学章节对已有数学题目进行分类，记为

步骤1.12、根据步骤1.11中对章节的分类结果

步骤1.13、收集被试者的作答情况，对

；

其中，

步骤1.14、构建关于题号、题目刺激特征、作答结果的观测数据表；其中数据表的每一行表示一道数学题目，每一列表示该道数学题目的若干特征信息；

步骤1.15、收集

；

记

；

将上述关联模型用矩阵形式表示，则有：

；

其中，

步骤1.16、估计不同特征对被试者作答结果的权重向量；

在上述关联模型中，权重

；

其中，

设

；

步骤1.17、对求解出的第

对第

；

其中，

体现了/>

体现了/>

为残差平方和，记作/>

由此得出

；

对关联模型的显著性检验就是检验以下假设是否成立：

；

在步骤1.15推导出的关联模型的矩阵形式下有：

；

；

其中，

当

由此能够得出为假设

；

在

步骤1.18、对第

根据第

；

构造检验以上假设的检验统计量：

设

；

其中，

检验

；

已知

又已知：

所以有：

在

；

给定显著性水平

步骤1.19、根据步骤1.18中计算出的

经过对

步骤1.20、将步骤1.19分析得到的第

；

当

步骤1.21、遍历完步骤1.11构建的

具体的，步骤2中所述构建用于数学题目及其解答过程生成的框架和一般化数学模型，包括以下步骤：

步骤2.1、对于待生成的第

；

其中，

；

步骤2.2、根据矩阵的初等变换，按照数学题目刺激特征

步骤2.21、定义初始数学题目的变换规则；在矩阵计算类题目中，变换规则更侧重于对变换顺序的规定；于是对于矩阵推理类题目，普遍按照以下顺序将初始题目矩阵进行变换：

初始数学题目矩阵

对

对

上述变换步骤中的

；

上述表达式表示将第

上述对初始数学题目矩阵

；

步骤2.22、从步骤2.21所述的

；

其中，

步骤2.23、从步骤2.21所述的

；

步骤2.24、构造变换步骤；整合步骤2.22和步骤2.23，按照先进行上三角变换，即先进行

；

步骤2.3、对变换步骤进行验证；

步骤2.4、整合步骤2.1构造的初始数学题目

；

其中，

根据章节

步骤2.5、逆序遍历步骤2.2所述的数学题目变换规则，生成数学题目解答步骤，记为

进一步地，步骤2.3中所述对变换步骤进行验证，具体包括以下步骤：

步骤2.31、对于步骤2.24构造出的变换步骤

步骤2.32、由步骤2.24得出的变换步骤

初始数学题目

如果

随机抽取的1步也需满足按照步骤序号进行升序排列，且最小的序号应该大于

；

通过验证的变换步骤能够表示为：

。

更进一步地，步骤2.5中所述生成数学题目解答步骤，具体包括以下步骤：

步骤2.51、将步骤2.32所得变换步骤

步骤2.511、对原始数学题目

；

步骤2.512、对原始数学题目

；

步骤2.513、对变换步骤验证补充的最后一步也进行水平反转；其最后一步要为倍加变换，就将其倍数取相反数；

；

通过变换步骤

；

步骤2.514、由步骤2.41得到的数学题目

；

步骤2.52、按照章节

具体的，步骤5中所述评价所生成数学题目的质量，具体方法如下：

步骤5.1、根据步骤1~步骤4，分别为不同章节编制一套数学题目，在同一套试题上将教材章节后提供的试题和自动生成的试题混合，并标定每个数学题目的刺激特征复杂度；然后随机抽取一个样本量为

步骤5.2、构建基于认知心理学和心理测量学相结合的数学题目认知复杂度测量模型；

步骤5.3、编制模型参数估计算法，根据步骤5.1中被试者的作答反应，估计出每个数学题目的题目参数；

步骤5.4、构造题目参数与题目特征的关联模型，估计出题目特征对题目参数的影响系数；

步骤5.5、将题目参数作为因变量，题目特征作为自变量，将步骤5.4中构造的关联模型代入步骤5.2中构建的测量模型中，得到认知复杂性模型；

步骤5.6、比较自动生成与教材课后习题之间的题目参数，验证自动生成的数学题目与教材课后习题之间的差异性；并利用步骤5.5得到的认知复杂性模型，分析影响被试作答的潜在认知因素；

步骤5.61、根据步骤5.3估计出的每个数学题目的题目参数，从区分度与难度两个维度比较计算机化自动生成的数学题目和教材中的课后习题在区分度、难度方面的差距大小；

步骤5.62：根据步骤5.5得出的认知复杂度模型，探查被试者在作答数学题目时的知识结构；通过认知复杂度模型能够直观看出导致作答结果不同的两个被试者在知识结构上的差异。

具体的，步骤5.2中所述数学题目认知复杂度测量模型的构建过程如下：

步骤5.21、以

；

其中，

令

；

与上述

步骤5.22、把章节

；

其中，

用刺激特征

；

其中，

将

；

具体的，步骤5.3中所述被试者的作答反应，估计出每个数学题目的题目参数，过程如下：

步骤5.31、构建关于数学题目参数的计算公式；

按照步骤5.1所述在同一套试题上将教材章节后提供的试题和自动生成的试题混合组成长度为

将

；

假设

；

由上述边缘分布可得关于数学题目参数的边缘似然函数，记为

同时根据上述边缘分布和连续型

；

对上述边缘似然函数取对数并对

；

将上述被试者能力参数

；

求解上式可得：

；

同理可得

；

根据Gauss-Hermite数值积分公式，可将上述

；

；

其中，

并且如果记

；

其中，

由Hermite多项式可知，

其中

记

；

；

由此上述

；

；

步骤5.32、构造被试者作答数据

将

用

；

用

；

其中，

由式（54）

；

联立上述

；

其中，上式所得

；

用

；

步骤5.33、通过整合步骤5.31构造的数学题目参数计算公式以及步骤5.32构造的完全数据后验期望估计数学题目参数；

步骤5.331、通过数学题目参数分布给出初始数学题目参数

步骤5.332、给定随机变量

步骤5.333、对给定的

步骤5.334、用牛顿-拉夫逊迭代方法求解由步骤5.31推导出的含有

步骤5.335、分别将

步骤5.336、两数差值

具体的，步骤5.4中所述构造题目参数与题目特征的关联模型，估计出题目特征对题目参数的影响系数，包括以下步骤：

步骤5.41、从数学题目的区分度和难度两个维度出发，来评估生成数学题目的质量；构建关于题号、题目特征

步骤5.42、根据步骤5.41中所得数学题目数据表，分别构造题目参数

假定因变量

；

将上述关联模型用矩阵形式表示，则有：

；

其中，

同理，因变量

；

将上述关联模型用矩阵形式表示，则有：

；

其中，

步骤5.43、重复步骤1.16~步骤1.18，分别估计出题目特征对数学题目区分度参数

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明构造了能够自动生成求解多元线性方程组和矩阵计算类数学题目及其解答步骤的生成框架和数学模型，将影响学生正确作答的认知难度因素融入生成框架，能够自动生成符合各因素层次要求的题目及其解答过程，还可以生成具有指定参数的题目及其解答过程；并且本发明所构造的生成框架还具有可重用性，只需根据学科知识更改其中少量模块，便可快捷生成满足特定要求的数学题目及其解答步骤；将本发明运用到教学过程中，能够为学习者提供大量的针对性习题及完整的解答过程，缩短学习者通过其他渠道搜集针对性习题的时间，减轻教师教学负担，提高学生学习效率，促进教学质量的提升。

附图说明

为了更清楚地说明本公开实施例的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简要介绍，应当理解，以下附图仅示出了本公开的某些实施例，因此不应被看作是对范围的限定，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他相关附图。

图1为本发明实施例的方法实现流程图；

图2为本发明实施例的模型结构图。

具体实施方式

为了便于本领域普通技术人员理解和实施本发明，下面对本发明提出方法的各个步骤进行详细说明，应理解，这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。此外应理解，在阅读了本发明讲授的内容之后，本领域技术人员可以对本发明作各种改动或修改，这些等价形式同样落于本申请所附权利要求书所限定的范围。

实施例

如图1所示，本发明提供了一种数学题目及其解答过程的生成方法，包括以下步骤：

步骤1、量化分析数学题目的特征，得到包含数学题目所属章节与题目特征的数据集；

步骤2、基于矩阵初等变换构建用于数学题目及其解答过程生成的框架和一般化数学模型，构建的数学题目及其解答过程自动生成框架如图2所示；

步骤3、根据步骤2中构建的数学题目及其解答过程生成框架和模型，综合步骤1中所得包含数学题目所属章节与题目特征的数据集，设计生成数学题目及其解答过程的算法；

步骤4、根据步骤3中所设计的数学题目及其解答过程生成算法，输入数学题目的测量内容、考查知识和相关特征参数，输出数学题目及其详细解答过程；

步骤5、量化分析步骤4中输出的数学题目难度和相关测量学指标，评价所生成数学题目的质量。

具体的，步骤1中所述量化分析数学题目的特征，得到包含数学题目所属章节与题目特征的数据集，过程如下：

步骤1.1、将已有数学题目按照章节进行分类，综合分析被试者对每个章节数学题目的认知加工过程，并人工标定影响每个认知加工过程的数学题目刺激特征，将所有标定的刺激特征组合起来，构成该章节数学题目刺激特征集合，记为

步骤1.2、使用经步骤1.1量化分析后得到的数学题目特征二元组

进一步地，步骤1.1中所述应用统计学方法量化分析刺激特征

步骤1.11、人工按照数学章节对已有数学题目进行分类，记为

步骤1.12、根据步骤1.11中对章节的分类结果

步骤1.13、收集被试者的作答情况，对

；

其中，

步骤1.14、构建关于题号、题目刺激特征、作答结果的观测数据表；其中数据表的每一行表示一道数学题目，每一列表示该道数学题目的若干特征信息；

步骤1.15、收集

；

记

；

将上述关联模型用矩阵形式表示，则有：

；

其中，

步骤1.16、估计不同特征对被试者作答结果的权重向量；

在上述关联模型中，权重

；

其中，

设

；

步骤1.17、对求解出的第

对第

；

其中，

体现了/>

体现了/>

为残差平方和，记作/>

由此得出

；

对关联模型的显著性检验就是检验以下假设是否成立：

；

在步骤1.15推导出的关联模型的矩阵形式下有：

；

；

其中，

当

由此能够得出为假设

；

在

步骤1.18、对第

根据第

；

构造检验以上假设的检验统计量：

设

；

其中，

检验

；

已知

又已知：

所以有：

在

；

给定显著性水平

步骤1.19、根据步骤1.18中计算出的

经过对

步骤1.20、将步骤1.19分析得到的第

；

当

步骤1.21、遍历完步骤1.11构建的

具体的，步骤2中所述构建用于数学题目及其解答过程生成的框架和一般化数学模型，包括以下步骤：

步骤2.1、对于待生成的第

；

其中，

；

步骤2.2、根据矩阵的初等变换，按照数学题目刺激特征

步骤2.21、定义初始数学题目的变换规则；在矩阵计算类题目中，变换规则更侧重于对变换顺序的规定；于是对于矩阵推理类题目，普遍按照以下顺序将初始题目矩阵进行变换：

初始数学题目矩阵

对

对

上述变换步骤中的

；

上述表达式表示将第

上述对初始数学题目矩阵

；

步骤2.22、从步骤2.21所述的

；

其中，

步骤2.23、从步骤2.21所述的

；

步骤2.24、构造变换步骤；整合步骤2.22和步骤2.23，按照先进行上三角变换，即先进行

；

步骤2.3、对变换步骤进行验证；

步骤2.4、整合步骤2.1构造的初始数学题目

；

其中，

根据章节

步骤2.5、逆序遍历步骤2.2所述的数学题目变换规则，生成数学题目解答步骤，记为

进一步地，步骤2.3中所述对变换步骤进行验证，具体包括以下步骤：

步骤2.31、对于步骤2.24构造出的变换步骤

步骤2.32、由步骤2.24得出的变换步骤

初始数学题目

如果

随机抽取的1步也需满足按照步骤序号进行升序排列，且最小的序号应该大于

；

通过验证的变换步骤能够表示为：

。

更进一步地，步骤2.5中所述生成数学题目解答步骤，具体包括以下步骤：

步骤2.51、将步骤2.32所得变换步骤

步骤2.511、对原始数学题目

；

步骤2.512、对原始数学题目

；

步骤2.513、对变换步骤验证补充的最后一步也进行水平反转；其最后一步要为倍加变换，就将其倍数取相反数；

；

通过变换步骤

；

步骤2.514、由步骤2.41得到的数学题目

；

步骤2.52、按照章节

具体的，步骤5中所述评价所生成数学题目的质量，具体方法如下：

步骤5.1、根据步骤1~步骤4，分别为不同章节编制一套数学题目，在同一套试题上将教材章节后提供的试题和自动生成的试题混合，并标定每个数学题目的刺激特征复杂度；然后随机抽取一个样本量为

步骤5.2、构建基于认知心理学和心理测量学相结合的数学题目认知复杂度测量模型；

步骤5.3、编制模型参数估计算法，根据步骤5.1中被试者的作答反应，估计出每个数学题目的题目参数；

步骤5.4、构造题目参数与题目特征的关联模型，估计出题目特征对题目参数的影响系数；

步骤5.5、将题目参数作为因变量，题目特征作为自变量，将步骤5.4中构造的关联模型代入步骤5.2中构建的测量模型中，得到认知复杂性模型；

步骤5.6、比较自动生成与教材课后习题之间的题目参数，验证自动生成的数学题目与教材课后习题之间的差异性；并利用步骤5.5得到的认知复杂性模型，分析影响被试作答的潜在认知因素；

步骤5.61、根据步骤5.3估计出的每个数学题目的题目参数，从区分度与难度两个维度比较计算机化自动生成的数学题目和教材中的课后习题在区分度、难度方面的差距大小；

步骤5.62：根据步骤5.5得出的认知复杂度模型，探查被试者在作答数学题目时的知识结构；通过认知复杂度模型能够直观看出导致作答结果不同的两个被试者在知识结构上的差异。

具体的，步骤5.2中所述数学题目认知复杂度测量模型的构建过程如下：

步骤5.21、以

；

其中，

令

；

与上述

步骤5.22、把章节

；

其中，

用刺激特征

；

其中，

将

；

具体的，步骤5.3中所述被试者的作答反应，估计出每个数学题目的题目参数，过程如下：

步骤5.31、构建关于数学题目参数的计算公式；

按照步骤5.1所述在同一套试题上将教材章节后提供的试题和自动生成的试题混合组成长度为

将

；

假设

；

由上述边缘分布可得关于数学题目参数的边缘似然函数，记为

同时根据上述边缘分布和连续型

；

对上述边缘似然函数取对数并对

；

将上述被试者能力参数

；

求解上式可得：

；

同理可得

；

根据Gauss-Hermite数值积分公式，可将上述

；

；

其中，

并且如果记

；

其中，

由Hermite多项式可知，

其中

记

；

；

由此上述

；

；

步骤5.32、构造被试者作答数据

将

用

；

用

；

其中，

由式（54）

；

联立上述

；/>

其中，上式所得

；

用

；

步骤5.33、通过整合步骤5.31构造的数学题目参数计算公式以及步骤5.32构造的完全数据后验期望估计数学题目参数；

步骤5.331、通过数学题目参数分布给出初始数学题目参数

步骤5.332、给定随机变量

步骤5.333、对给定的

步骤5.334、用牛顿-拉夫逊迭代方法求解由步骤5.31推导出的含有

步骤5.335、分别将

步骤5.336、两数差值

具体的，步骤5.4中所述构造题目参数与题目特征的关联模型，估计出题目特征对题目参数的影响系数，包括以下步骤：

步骤5.41、从数学题目的区分度和难度两个维度出发，来评估生成数学题目的质量；构建关于题号、题目特征

步骤5.42、根据步骤5.41中所得数学题目数据表，分别构造题目参数

假定因变量

；

将上述关联模型用矩阵形式表示，则有：

；

其中，

同理，因变量

；

将上述关联模型用矩阵形式表示，则有：

；

其中，

步骤5.43、重复步骤1.16~步骤1.18，分别估计出题目特征对数学题目区分度参数

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明作其它形式的限制，任何熟悉本专业的技术人员可能利用上述揭示的技术内容加以变更或改型为等同变化的等效实施例。但是凡是未脱离本发明技术方案内容 ,依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与改型，仍属于本发明技术方案的保护范围。