一种用于二类超晶格能带计算的非均匀网格有限差分法

技术领域

本发明属于光电器件技术领域，涉及一种用于二类超晶格能带计算的非均匀网格有限差分法，具体涉及一种能够实现二类超晶格能带数值求解在计算精度和效率方面的有效统一的方法。

背景技术

8带k·p模型被广泛应用于构建二类超晶格能带，对应的数值求解算法包括有限差分法，传递矩阵法和傅里叶级数展开法。其中传递矩阵法和傅里叶级数展开法的缺点在于只能以原子层厚度为步长进行离散化，且傅里叶级数展开法的数学处理过程相对复杂。而有限差分法则可以以任意的单一步长对超晶格结构进行离散化，在处理厚度小于单原子层的超晶格界面时非常有效。

当前用于二类超晶格能带数值求解的均匀网格有限差分法的方案为：沿超晶格生长方向用单一步长将一个周期厚度内的超晶格均匀地离散为N层，形成N个节点，如附图1所示。然后将薛定谔方程中的哈密顿量按照k

由于二类超晶格的界面层对超晶格能带有显著影响且厚度仅有0.05～0.3nm，为保证计算精度，选择的离散步长约为界面层厚度的1/10及以下。然而二类超晶格的周期厚度一般在4到10nm，因此，采用单一步长对超晶格结构离散化而形成的超晶格总矩阵规模巨大。且离散步长越小，矩阵规模越大，导致二类超晶格能带计算时间过长，效率过低。

发明内容

基于当前计算二类超晶格能带的有限差分法，通过改进离散化方案，用非均匀网格替代均匀网格对超晶格结构进行划分，实现超晶格能带计算在保证精度的前提下，缩短计算时间，提高计算效率。

一种用于超晶格能带计算的非均匀网格有限差分法的总体技术方案为：

第1步，沿二类超晶格生长方向将单个周期厚度内的超晶格非均匀地离散为N层，形成N个节点；

第2步，将薛定谔方程中的哈密顿量按照k

第3步，将微分算符写成差分形式，合并包络函数相同的项，得到离散层的层间耦合作用项和层内耦合作用项；

第4步，根据离散的层数N将薛定谔方程写成矩阵形式，其哈密顿量是一个8N×8N的超晶格矩阵；

第5步，通过求解超晶格矩阵在不同波矢的特征值得到描述超晶格能带结构的E(k)-k关系。

进一步地，在总体技术方案第1步中，用h

进一步地，在总体技术方案第3步中，由于离散步长不唯一，非均匀网格差分法求解二类超晶格能带的二阶和一阶微分算符的差分形式与均匀网格差分法不同，需要用差分公式

其中H

进一步地，在总体技术方案第3步中，由于离散步长不唯一，非均匀网格差分法求解二类超晶格能带的层内耦合作用项和层间耦合作用项的表达式与均匀网格差分法的不同，因此所述二阶和一阶微分算符的差分形式是通过合并包络函数相同的项得到用于非均匀网格差分法求解二类超晶格能带的离散层的层间耦合作用项和层内耦合作用项表达式：

其中：H

本发明的有益效果为：

本发明基于当前计算二类超晶格能带的有限差分法，通过改进离散化方案，用非均匀网格替代均匀网格对超晶格结构进行划分，无论是长波超晶格还是中波超晶格，采用本发明的非均匀网格差分法的二类超晶格能带结构和有效带隙计算结果与采用均匀网格差分法的计算结果相当，但计算用时显著缩短。

附图说明

图1为单个周期厚度内采用均匀网格划分InAs/GaSb超晶格的示意图，其中InAs层，GaSb层和界面层均采用步长h进行离散化。

图2为单个周期厚度内采用非均匀网格划分InAs/GaSb超晶格的示意图，其中InAs层，GaSb层和界面层分别用步长h

图3中的两幅图分别是长波超晶格采用(左)均匀网格划分后计算的能带结构和采用(右)非均匀网格划分后计算的能带结构，其中每幅图两个加重的点和对应的X、Y值，上方的点的X和Y值分别代表k空间的零点坐标和导带最小值E

图4中的两幅图分别是中波波超晶格采用(左)均匀网格划分后计算的能带结构和采用(右)非均匀网格划分后计算的能带结构，其中每幅图两个加重的点和对应的X、Y值，上方的点的X和Y值分别代表k空间的零点坐标和导带最小值E

具体实施方式

实施例

一种用于超晶格能带计算的非均匀网格有限差分法，包括：

第1步，沿二类超晶格生长方向将单个周期厚度内的超晶格非均匀地离散为N层，形成N个节点；

用h

第2步，将薛定谔方程中的哈密顿量按照k

第3步，将微分算符写成差分形式，合并包络函数相同的项，得到离散层的层间耦合作用项和层内耦合作用项；

由于离散步长不唯一，非均匀网格差分法求解二类超晶格能带的二阶和一阶微分算符的差分形式与均匀网格差分法不同，需要用差分公式

其中：H

由于离散步长不唯一，非均匀网格差分法求解二类超晶格能带的层内耦合作用项和层间耦合作用项的表达式与均匀网格差分法的不同，所述二阶和一阶微分算符的差分形式是通过合并包络函数相同的项得到用于非均匀网格差分法求解二类超晶格能带的离散层的层间耦合作用项和层内耦合作用项表达式：

其中：H

第4步，根据离散的层数N将薛定谔方程写成矩阵形式，其哈密顿量是一个8N×8N的超晶格矩阵；

第5步，通过求解超晶格矩阵在不同波矢的特征值得到描述超晶格能带结构的E(k)-k关系。

非均匀网格差分法与均匀网格差分法数值计算二类超晶格能带效果对比如表1所示。

表1

从表1可见，无论是长波超晶格还是中波超晶格，采用非均匀网格差分法的二类超晶格能带结构和有效带隙计算结果与采用均匀网格差分法的计算结果相当，但计算用时显著缩短。