形状优化方法及计算机存储介质和终端设备

技术领域

本发明涉及一种基于神经网络的偏微分方程约束形状优化方法，属于形状优化领域。

背景技术

偏微分方程约束的形状优化问题广泛存在于热力学、流体力学、结构力学等领域，在现代科学研究与工程应用中发挥着重要作用，其目标是优化系统中给定对象的几何形状，在满足系统约束条件下，使系统的某些性能指标达到最优。示例的：高铁车头、汽车车身、飞机机翼的形状待优化问题，优化的目标为极小化风阻系数；桥梁孔洞的形状待优化问题，优化的目标为极小化应变能；流体管道的形状待优化问题，优化的目标为极小化能量耗散。所以，如何求解偏微分方程约束的形状优化问题，以得到上述形状待优化问题的优化结果，是当前研究的难点技术问题。

示例的，典型的偏微分方程约束形状优化问题可表示如下：

其中，Ω为待优化形状，y为定义在Ω上的状态函数，J为问题的目标泛函，Y为状态函数所在函数空间，U为形状Ω的允许集合，F(y,Ω)＝0表示偏微分方程约束条件即状态方程。

随着当前算力的快速发展，在力学结构、流体通道优化与路面交通载具、飞行器设计等领域，涌现了一批形状优化方法。其中具有代表性的主要包含启发式方法、代理模型方法与伴随方法等。启发式方法通常基于遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等来实现目标形状的更新，相关方法实现往往比较简单直观，但优化中通常需要进行大量的计算模拟，且优化过程带有较大的不确定性。代理模型方法通过建立优化变量与性能指标的代理模型，如多项式响应面、克里金、神经网络等模型，避免了优化中的大量模拟，然而如何保证代理模型的插值与外推精度目前仍面临挑战。而伴随方法充分利用目标泛函梯度信息，优化方向明确，同时通过引入伴随方程，在高维优化问题中与直接方法相比，显著降低了计算量，伴随类方法目前已在若干形状优化软件中获得应用。然而目前的伴随类方法通常是网格依赖的，这就导致在优化形变中存在网格质量难以保障、网格校正相对耗时、网格刚性导致形变受限等问题，造成优化的性能指标不理想。

如何在保障精度的前提下，高效地优化目标形状，同时令优化中形变更加灵活，进而获得理想的性能指标，是当前形状优化领域中面临的重要挑战。

发明内容

为解决上述问题，本发明提出一种基于神经网络的偏微分方程约束的形状优化方法，包括：

S1:根据偏微分方程约束的形状待优化问题，确定状态方程、伴随方程和正则方程；

S2:分别构建以空间点坐标x为输入，以状态方程代理解y(x；θ

S3:设定优化目标的初始形状Ω

S4:在当前形状内部与边界分别采样若干配置点；

S5:将配置点坐标x

S6:将配置点坐标x

S7:将配置点坐标x

S8:计算形状表征点坐标x

S9:判断是否结束形状迭代更新；若否，返回S4；若是，则以当前形状作为形状待优化问题的形状优化结果。

进一步地，S5中的状态损失函数为：

其中，

进一步地，S6中的伴随损失函数为：

其中，

进一步地，S7中的正则损失函数为：

其中，

进一步地，S8中采用式(7)更新形状边界

其中，α

进一步地，S9中判断是否结束形状迭代更新的依据为：是否达到设定的形状更新迭代循环次数或形状更新前后目标泛函值改变量是否低于设定阈值。

进一步地，用于求解基于偏微分方程约束的高铁车头、汽车车身、飞机机翼、桥梁孔洞、流体管道的形状待优化问题；

高铁车头、汽车车身、飞机机翼的形状待优化问题，优化的目标为极小化风阻系数泛函：

桥梁孔洞的形状待优化问题，优化的目标为极小化应变能泛函：

流体管道的形状待优化问题，优化的目标为极小化能量耗散泛函：

根据形状待优化问题的目标泛函和约束条件，根据步骤S1，确定状态方程、伴随方程和正则方程；

根据步骤S2-S9，确定形状待优化问题的形状优化结果。

另一方面，本发明还提供一种计算机存储介质，存储有可执行程序代码；所述可执行程序代码，用于执行上述任意的形状优化方法。

另一方面，本发明还提供一种终端设备，包括存储器和处理器；所述存储器存储有可被处理器执行的程序代码；所述程序代码用于上述任意的形状优化方法。

相对现有技术，本发明有益效果如下：

(1)本发明在形状优化中结合了经典直接伴随循环框架与基于神经网络的偏微分方程求解方法，提出了一种基于神经网络的形状优化方法，突破了当前形状优化方法中存在的网格质量难以保障、网格校正相对耗时的瓶颈，提升了优化精度，避免了额外校正操作。

(2)本发明采用边界离散点来表征形状，在优化形变中不受网格依赖方法中网格刚性的制约，形变更加灵活，有益于实现更优的系统性能指标。

(3)本发明对优化目标初始形状与初始位置具有鲁棒性，更有益于应用于缺乏先验知识的形状优化问题之中。

附图说明

图1为本发明形状优化方法的流程图。

图2为本发明实施例一中的形状优化过程与结果。

图3为本发明实施例二中的初始形状。

图4为本发明实施例二中的形状优化结果。

具体实施方式

下面将结合附图和具体实施方式对本发明作进一步的说明。本发明中涉及的“S1、S2…”等，仅用于描述目的，不能理解为指示或暗示其相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征数量等，本领域技术人员可以理解的凡是在发明技术构思下，不违背其发明要点的，都应该列入本发明的保护范围。

本发明具体实施方式包含如下内容：

如图1所示，本发明提出一种形状优化方法，包括：

S1:根据偏微分方程约束的形状待优化问题，确定状态方程、伴随方程和正则方程；

具体的，根据偏微分方程约束的形状待优化问题，根据其目标泛函和约束条件确定状态方程，再根据伴随方法，获得相应问题的伴随方程，之后根据任意现有正则化方法获得正则方程用于光滑形状优化方向；更为具体的，对于偏微分方程约束形状待优化问题中涉及的伴随方程、状态方程、正则方程可由本领域技术人员采用任意方式确定，正则方程(φ,V)＝-d

S2:分别构建以空间点坐标x为输入，以状态方程代理解(surrogate solution)y(x；θ

具体地，涉及的神经网络代理模型结构不限，可采用经典的全连接神经网络、ResNet、DenseNet等；更为具体的，模型输入与输出维度依赖具体问题设置，示例的：设形状区域Ω的维数为D

S3:设定优化目标的初始形状Ω

具体地，初始形状可依据但不限于领域先验知识或问题求解经验来设定，边界形状表征点可采用边界随机离散或均匀离散等方式获得，其可在每次形状更新后在形状边界上进行重采样，或继续使用更新后的形状表征点。

S4:在当前形状内部与边界分别采样若干配置点，并可选择形状表征点作为边界配置点；

具体地，配置点的采样可选择但不限于均匀采样、随机采样或自适应采样等方式，配置点采样数量依据具体问题属性、神经网络模型规模、算力配置等情况选取。

S5:将配置点坐标x

具体地，优化损失函数时，优化算法不限，可采用SGD、Adam、L-BFGS等经典优化算法，损失函数中涉及的微分项可由神经网络输出对输入自动微分获得，本段内容同理适用于S6与S7。

S6:将配置点坐标x

具体地，优化伴随损失函数过程中，涉及的状态方程代理解中参数

S7:将配置点坐标x

具体地，优化正则损失函数过程中，涉及的状态方程代理解中参数

S8:计算形状表征点坐标x

具体地，式(7)中的更新步长α

S9:依据是否达到设定的形状更新迭代循环次数或依据形状更新前后目标泛函值改变量是否低于设定阈值来判断是否结束形状迭代更新；若否，返回S4；若是，则以当前形状作为形状优化结果。

在上述实施方式中，给出了本发明形状优化方法，其融合了经典形状优化方法和基于神经网络的偏微分方程求解方法的优势。一方面，经典直接伴随循环形状优化方法利用形状导数为整个形状优化过程提供了明确的形状优化方向和高效的优化框架；另一方面，通过引入基于神经网络的无网格偏微分方程求解方法及采用基于边界离散点的形状表征方式，使得本发明形状优化方法突破了当前形状优化方法中普遍存在的网格质量难以保障、网格校正相对耗时的瓶颈，提升了优化精度，避免了额外校正操作。结合上述两方面优势，本发明形状优化方法，相比现有方法，在保证高效的形状优化过程的同时，在形变中更加灵活，有益于实现更优的系统性能指标。本发明方法对优化目标初始形状与初始位置具有较强鲁棒性，更有益于应用于缺乏先验知识的形状优化问题之中。同时本发明方法可以作为新的一类形状优化方法集成到现有的数值模拟软件，发挥其更大的作用。值得注意的是，本发明形状优化方法，可选但不仅限于用于高铁车头、汽车车身、飞机机翼的形状待优化问题，优化的目标为极小化风阻系数泛函；桥梁孔洞的形状待优化问题，优化的目标为极小化应变能泛函；流体管道的形状待优化问题，优化的目标为极小化能量耗散泛函，通过上述目标泛函，以及根据实际具体形状待优化问题的约束条件，进而确定状态方程、伴随方程和正则方程。值得注意的，本发明的形状优化方法，以求解上述形状待优化问题为例，但并不以此为限，可应用于任何偏微分方程约束的形状待优化问题中，求解形状优化结果。

下面通过具体实施例对本发明做进一步说明，但不应以此限制本发明的保护范围。

实施例一：

对于步骤S1，根据实际面对的形状待优化问题，如上述高铁车头、汽车车身、飞机机翼的形状待优化问题，优化的目标为极小化风阻系数泛函；桥梁孔洞的形状待优化问题，优化的目标为极小化应变能泛函；流体管道的形状待优化问题，优化的目标为极小化能量耗散泛函，通过上述目标泛函，以及根据实际具体形状待优化问题的约束条件，确定状态方程，示例的，以一个Poisson方程约束的形状优化模型问题为例，该形状待优化问题的目标泛函与状态方程可表示如下：

其中J为目标泛函，Ω为待优化形状，状态方程右端项f可选但不仅限于示例为：

基于伴随方法获得问题相应伴随方程如下：

关于目标泛函的形状导数为

之后对于步骤S2，分别构建状态方程神经网络代理模型Net

对于步骤S3，为验证本发明方法的鲁棒性，在本例中分别选择圆形、椭圆、矩形三种目标初始形状，如图2所示，并将初始形状边界离散为500个形状表征点。

对于步骤S4，在形状区域内设置1000个配置点，而以500个形状表征点同时作为边界配置点。

对于步骤S5-S7，然后依次分别训练Net

对于步骤S8，然后计算500个形状表征点坐标x

对于步骤S9，判断是否结束形状迭代更新，若否则返回步骤S4，在更新后的形状上采样配置点，继续进行循环迭代。若是，则以当前形状作为形状待优化问题的形状优化结果。示例的，本例中可选但不仅限于设定形状更新迭代循环次数为50次，最终得到形状优化结果。

在该实施例中，为了验证本发明形状优化方法较经典网格依赖形状优化方法的优势，以常用形状优化工具Fireshape作为对比，二者优化过程及结果展示在图2中。在图2(a)中可发现在圆形初始形状下，两种方法均能收敛到最优参考形状。而在图2(b)中椭圆初始形状下，在Fireshape优化过程中，形状区域右侧部分网格逐渐被加密，最后形成了凸起。而本发明方法不受网格刚性的约束，可实现更灵活的形变，优化结果也更接近最优形状。在图2(c)中矩形初始形状下，Fireshape出现发散，而本发明方法仍能收敛到近似最优的形状。本实施例，阐明了本发明方法的基本流程，同时验证了本发明方法的优越性。值得注意的是，该实施例的一种状态方程、伴随方程和正则方程，仅为示例说明，针对不同形状待优化问题，只需要按照上述步骤确定对应的状态方程、伴随方程和正则方程即可，再采用本发明的形状待优化方法，得到形状优化结果。

实施例二：

以一个Stokes方程约束的管道流场中障碍物形状优化问题为例，如图3所示，设置了两种初始形状，对于步骤S1，该问题的目标泛函与状态方程可表示如下：

其中J为目标泛函，u为速度场，p为压力场，ξ为雷诺数的倒数，Γ

对于步骤S2，可选但不仅限于采用ResNet神经网络分别构建状态方程神经网络代理模型Net

对于步骤S3，关于两种初始形状均在边界Γ

对于步骤S4，在区域整体边界取4400个(对应第一种初始形状(图3(a)))，5000个(对应第二种初始形状(图3(b)))边界配置点，其中包含边界Γ

对于步骤S5-S7，由于本例中问题的自伴随特性，可以省略步骤S6，具体将配置点坐标x

对于步骤S8，计算1200个形状表征点坐标x

对于步骤S9，判断是否结束形状迭代更新，若否则返回步骤S4，在更新后的形状上采样配置点，继续进行循环迭代。若是，则以当前形状作为形状待优化问题的形状优化结果。示例的，本例中可选但不仅限于设定形状更新迭代循环次数为30次(针对第一种初始形状)与100次(针对第二种初始形状)，最终得到形状优化结果。

在该实施例中，为了验证本发明形状优化方案的优势，以常用形状优化工具Fireshape作为对比，二者优化结果展示在图4中。在第一种初始情况下，如图4(a)所示，本发明方法优化后的障碍物更加扁平。而在第二种初始情况下，如图4(b)所示，本发明方法优化后的障碍物位置相对靠近边界，使得流动更加平滑，从而减少了能量耗散。而在Fireshape中，需要确保障碍物周围网格的质量(例如增加正则化项)，这就限制了障碍物自身的形变。相比之下，本发明方法的形状变形更灵活，进而获得了更低的目标泛函值。

另一方面，本发明还提供一种计算机存储介质，存储有可执行程序代码；所述可执行程序代码，用于执行上述任意的形状优化方法。

另一方面，本发明还提供一种终端设备，包括存储器和处理器；所述存储器存储有可被处理器执行的程序代码；所述程序代码用于执行上述任意的形状优化方法。

示例性的，所述程序代码可以被分割成一个或多个模块/单元，所述一个或者多个模块/单元被存储在所述存储器中，并由所述处理器执行，以完成本发明。所述一个或多个模块/单元可以是能够完成特定功能的一系列计算机程序指令段，该指令段用于描述所述程序代码在终端设备中的执行过程。

所述终端设备可以是桌上型计算机、笔记本、掌上电脑及云端服务器等计算设备。终端设备可包括，但不仅限于，处理器、存储器。本领域技术人员可以理解，终端设备还可以包括输入输出设备、网络接入设备、总线等。

所述处理器可以是中央处理单元(Central Processing Unit，CPU)或图形处理单元(Graphics Processing Unit，GPU)，还可以是其他通用处理器、数字信号处理器(Digital Signal Processor，DSP)、专用集成电路(Application Specific IntegratedCircuit，ASIC)、现成可编程门阵列(Field-Programmable GateArray，FPGA)或者其他可编程逻辑器件、分立门或者晶体管逻辑器件、分立硬件组件等。通用处理器可以是微处理器或者该处理器也可以是任何常规的处理器等。

所述存储器可以是终端设备的内部存储单元，例如硬盘或内存。所述存储器也可以是终端设备的外部存储设备，例如终端设备上配备的插接式硬盘，智能存储卡(SmartMedia Card,SMC)，安全数字(Secure Digital,SD)卡，闪存卡(Flash Card)等。进一步地，所述存储器还可以既包括终端设备的内部存储单元也包括外部存储设备。所述存储器用于存储所述程序代码以及终端设备所需的其他程序和数据。所述存储器还可以用于暂时地存储已经输出或者将要输出的数据。

上述计算机存储介质和终端设备基于本发明形状优化方法而创造，其技术作用和有益效果在此不再赘述，以上所述实施方式的各技术特征可以进行合理组合，为使描述简洁，未对上述实施方式中的各个技术特征所有可能的组合都进行描述，然而，只要这些技术特征的组合不存在矛盾，都应当认为是本说明书记载的范围。

以上所述实施例仅表达了本发明的一种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的一般技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。因此，本发明专利的保护范围应以所附权利要求为准。