设计建模对象

技术领域

本公开内容涉及计算机程序和系统的领域，并且更特别地涉及用于设计表示在物理性质方面具有各向异性行为的材料中形成的机械零件的建模对象的方法、系统和程序。

背景技术

市场上提供了许多用于对象的设计、工程和制造的系统和程序。CAD是计算机辅助设计的首字母缩写，例如，它涉及用于设计对象的软件解决方案。CAE是计算机辅助工程的首字母缩写，例如，它涉及用于模拟未来产品的物理行为的软件解决方案。CAM是计算机辅助制造的首字母缩写，例如，它涉及用于定义制造过程和操作的软件解决方案。在这样的计算机辅助设计系统中，图形用户界面能够在这些技术(CAD、CAE、CAM)的效率方面发挥作用。这些技术可以嵌入产品生命周期管理(PLM)系统中。PLM是指一种商业战略，它帮助公司共享产品数据，应用通用过程，并且跨越扩展企业的概念利用公司知识从产品概念到其生命周期结束的过程中开发产品。达索系统公司提供的PLM解决方案(商标为CATIA

在这种工业设计的背景下，设计表示在物理性质方面具有各向异性行为的材料中形成的机械零件的建模对象变得越来越重要。Wu等人的文章“Topology optimization ofmulti-scale structures:a review”(Structural and MultidisciplinaryOptimization，第63卷，2021年，第1455-1480页)提供了对用于设计多尺度结构的拓扑优化(TO)方法的综述。Choi等人的文章“Topology optimization using a reaction-diffusion equation”(Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，第200卷，第29-32页，2011年，第2407-2420页)提出了一种基于反应扩散(RD)方程的结构拓扑优化方法，其中，拓扑优化的设计灵敏度直接用作反应扩散方程的反应项。

然而，已知的现有技术并不允许创建由高效各向异性取向的微结构制成的设计。特别地，已知的现有技术没有提供对局部图案的控制(例如为了满足某些几何约束)或者提高制造的可靠性。另外，与传统的各向同性材料相比，现有技术无法提供专门定制的各向异性微结构的高物理性能。另外，已知的现有技术无法快速生成高度详细的设计。

在这种背景下，仍然需要一种改进的用于设计表示在物理性质方面具有各向异性行为的材料中形成的机械零件的建模对象的方法。

发明内容

因此，提供了一种用于设计建模对象的计算机实现的方法，所述建模对象表示在物理性质方面具有各向异性行为的材料中形成的机械零件。所述方法包括：提供第一网格、表示所述建模对象的至少边界的密度场，以及表示期望的各向异性行为的取向张量场。所述方法还包括：针对所述取向张量场的每个第i个主方向，计算第i个网格上的各向异性反应扩散图案，所述第i个网格具有比所述第一网格更高的分辨率并且由所述建模对象的所述边界来界定。所述方法还包括：通过布尔运算来组合投影在第二网格上的所计算的各向异性反应扩散图案。

所述方法可以包括以下各项中的一项或多项：

计算在第i个网格上的各向异性反应扩散图案包括：基于所述取向张量场来计算各向异性扩散张量；并且基于反应扩散系统来计算在所述第i个网格上的各向异性反应扩散图案，所述反应扩散系统包括依赖于所计算的各向异性扩散张量的扩散；

基于反应扩散系统来计算在所述第i个网格上的各向异性反应扩散图案包括：计算在所述第i个网格上的所述反应扩散系统的解，所述解是所述第i个网格上的满足所述反应扩散系统的值的分布；并且通过计算针对等表面值的计算解的等表面来计算所述图案；

所述方法还包括：提供实体材料图，所述实体材料图表示针对所述第i个网格的每个元素，在所述元素处的所述取向张量场的取向与在邻近元素处的所述取向张量场的取向的对准；并且其中，基于反应扩散系统来计算在所述第i个网格上的各向异性反应扩散图案包括：基于反应扩散系统来计算在所述第i个网格上的各向异性反应扩散图案，所述反应扩散系统包括依赖于所计算的各向异性扩散张量的扩散和依赖于所提供的实体材料图的反应；

针对主方向i，所述反应扩散系统是以下形式的Gray-Scott模型：

其中，σ

计算在第i个网格上的各向异性反应扩散图案还包括：对所述第i个网格上的所述取向张量场和所述密度场进行上采样；

所述建模对象是3D建模对象，并且其中，通过布尔运算进行的所述组合包括：计算第i个网格上的第一图案与第j个网格上的第二图案的合取的集合的析取，其中，i≠j；

所述建模对象是2D建模对象，并且其中，通过布尔运算进行的所述组合包括：计算第i个网格上的第一图案与第j个网格上的第二图案的析取，其中，i≠j，

所述第一网格是有限元网格，并且其中，提供所述密度场包括：提供与所述第一网格相关联的数据，所述数据包括：形成一个或多个相应载荷情况的一个或多个力；一个或多个边界条件；与所述材料相关的一个或多个参数；以及关于所述有限元网格中的所述材料的全局量的全局量约束；

提供所述密度场还包括：基于所述第一网格并基于与所述第一网格相关联的所述数据来执行拓扑优化，从而获得所述密度场，所述密度场还表示所述3D建模对象的材料量的分布；

提供所述取向张量场包括：针对所述取向张量场的每个位置：基于所述密度场和与所述第一网格相关联的所述数据来计算局部应力张量；并且基于所述局部应力张量场来计算在所述位置处的所述取向张量场；并且/或者

计算所述取向张量场包括：基于所述局部应力张量的主特征向量来计算第一取向；基于所述主特征向量和所述局部应力张量来计算一个或多个其他取向；并且基于所述第一取向和所述一个或多个其他取向来计算所述取向张量场。

还提供了一种包括用于执行所述方法的指令的计算机程序。

还提供了一种计算机可读存储介质，其上记录有所述计算机程序。

还提供了一种包括被耦合到存储器的处理器的系统，所述存储器上记录有所述计算机程序。

附图说明

现在将参考附图来描述非限制性示例，其中：

图1示出了该方法的示例的流程图；

图2示出了该方法的另一示例的流程图；

图3A至图3D示出了粗尺度网格上的悬臂2D问题的示意图，所述粗尺度网格包括力和边界条件、通过拓扑优化获得的密度场、主应力取向以及实体材料图；

图4示出了用于定向和充分连接的图案的反应扩散方程的参数图；

图5A和图5B示出了悬臂2D问题的应力定向结构；

图6A和图6B示出了通过应用该方法的示例而设计的2D和3D力逆变器；

图7(a)至图7(i)示出了根据该方法的实施例的力逆变器的设计的时间演变；

图8示出了该系统的图形用户界面的示例；并且

图9示出了该系统的示例。

具体实施方式

参考图1的流程图，提出了一种用于设计建模对象的计算机实现的方法，所述建模对象表示在物理性质方面具有各向异性行为的材料中形成的机械零件。表示机械零件的建模对象可以是表示机械零件的建模对象；机械零件是现实世界中的设备上的操作零件。该方法包括提供(S10)第一网格、表示建模对象的至少边界的密度场，以及表示期望的各向异性行为的取向张量场。该方法还包括：针对取向张量场的每个第i个主方向，计算(S20)第i个网格上的各向异性反应扩散图案。所述第i个网格比第一网格具有更高的分辨率并且由建模对象的边界来界定。该方法还包括通过布尔运算来组合(S30)投影在第二网格上的所计算的各向异性反应扩散图案。

这构成了一种用于设计建模对象的改进的方法，所述建模对象表示在物理性质方面具有各向异性行为的材料中形成的机械零件。尤其地，该方法通过使用多尺度工作流程而提高了设计效率。在这样的多尺度工作流程中，密度场能够通过在第一网格上提供设计对象的至少一个边界来提供初始设计。这样的第一网格可以是粗网格，因此提供初始设计在计算上是高效的。然后，该方法通过计算在第i个网格上的(一个或多个)各向异性反应扩散图案来执行设计，所述第i个网格比第一网格具有更高的分辨率并且由所提供的密度场表示的建模对象的边界来界定。因此，该方法仅计算在由初始设计界定的区上的(一个或多个)图案并且使用更高分辨率的网格，从而细化了初始设计。由于高分辨率计算是从由密度场提供的更好的初始条件(即，初始猜测)开始的并且是在初始设计的区(即，更小的设计空间)上开始的，因此这样的细化是计算高效的。换句话说，该方法使得能够通过计算在更高分辨率的网格上的(一个或多个)图案来(通过提供的密度场)细化(即，获得)针对建模对象的给定设计的局部微结构，并且基于初始设计来获得针对建模对象的新的设计。

另外，这样的多尺度工作流程使得该方法能够采用文献中的任何已知的方法来提供密度场。在示例中，所提供的密度场可以是拓扑优化的结果或者是由用户(例如，设计者)设计的对象，然后该方法可以通过计算针对每个主方向的各向异性反应扩散图案并组合这些图案来设计建模对象。

另外，这样的多尺度工作流程使得该方法能够自动完成和/或快速编辑最初提供的设计(由所提供的密度场来表示的)。在示例中，用户(例如，设计者)可以交互地擦除一些区域或者绘制充当约束的引导形状，然后该方法可以通过计算针对擦除区域中每个主方向的各向异性反应扩散图案来重新设计建模对象，并且组合这些图案以更新建模对象。这样改善了设计方法的人类工程学。

另外，该方法先计算针对取向张量场的每个主方向的反应扩散图案，然后才组合这些反应扩散图案以获得设计的建模对象。这样改进了解决方案，因为该方法能够针对每个方向定制设计建模对象，从而获得各向异性结构。与传统的各向同性材料相比，这样的专门定制的各向异性微结构具有很高的物理性能。

该方法通过结合各向异性反应扩散图案来设计建模对象。反应扩散图案是局部图案，因此该方法能够控制建模对象的局部图案，以例如满足某些几何约束或者使得模型适应以提高制造的可靠性。这样进一步有助于设计在设计对象的一些目标区中(例如在取向场中的奇点附近)具有改善的规则性的结构。这样的规则性(例如通过增材制造)改善了对设计对象的制造。如下文所解释的，这在制造CAD的领域尤其相关。

该方法是计算机实现的。这表明该方法的步骤(或基本上所有步骤)是由至少一台计算机或任何类似的系统来运行的。因此，该方法的步骤是由计算机来执行的，可能是全自动执行的，也可能是半自动执行的。在示例中，该方法的步骤中的至少一些步骤的触发可以是通过用户-计算机交互来执行的。所要求的用户-计算机交互的水平可以依赖于预见的自动化水平，并且与实现用户愿望的需求相平衡。在示例中，这种水平可以是用户定义的和/或预定义的。

方法的计算机实施方式的典型示例是用适于该目的的系统来执行该方法。该系统可以包括处理器，该处理器被耦合到存储器和图形用户界面(GUI)，在存储器上记录有计算机程序，该计算机程序包括用于执行该方法的指令。存储器还可以存储数据库。存储器是适于这样的存储的任何硬件，可能包括若干在物理上不同的部分(例如，一个部分用于程序，并且一个部分可能用于数据库)。

该方法通常操纵建模对象。建模对象是由在例如数据库中存储的数据定义的任何对象。推而广之，“建模对象”这一表述是指数据本身。根据系统的类型，建模对象可以由不同种类的数据来定义。该系统实际上可以是CAD系统、CAE系统、CAM系统、PDM系统和/或PLM系统的任意组合。在那些不同的系统中，建模对象由对应的数据来定义。因此，可以说CAD对象、PLM对象、PDM对象、CAE对象、CAM对象、CAD数据、PLM数据、PDM数据、CAM数据、CAE数据。然而，这些系统并不相互排斥，因为建模对象可以是由与这些系统的任意组合相对应的数据来定义的。因此，一个系统可以既是CAD系统又是PLM系统，这从下面提供的这样的系统的定义中是显而易见的。

CAD系统还表明至少适于基于建模对象的图形表示来设计建模对象的任何系统，例如，CATIA。在这种情况下，定义建模对象的数据包括允许表示建模对象的数据。例如，CAD系统可以使用边或线(在某些情况下利用面或表面)来提供对CAD建模对象的表示。可以用各种方式表示线、边或表面，例如，非均匀有理B样条(NURBS)。具体地，CAD文件包含规范，根据该规范可以生成几何形状，从而允许生成表示。可以将建模对象的规范存储在一个或多个CAD文件中。在CAD系统中表示建模对象的文件的典型大小在每部分1兆字节的范围内。并且建模对象通常可以是成千上万个部分的组件。

在CAD的背景下，建模对象通常可以是2D或3D的。3D建模对象可以例如表示产品，例如，零件或零件的组件，或者可能是产品的组件。2D建模对象可以是产品的简化表示，例如，零件或零件的组件，或者可能是产品的组件。例如，2D建模对象可以表示沿着曲线(例如，挤压轴)挤压的3D产品的轮廓。这样的2D表示可以有效地表示产品的物理性质或物理行为。“建模对象”表明由允许其2D或3D表示的数据建模的任何对象。2D或3D表示允许从所有角度查看零件。例如，当以2D或3D来表示时，2D或3D建模对象可以被处理并且绕其任意轴转动或者绕显示该表示的屏幕中的任意轴转动。对2D或3D表示的显示有助于设计(即，提高了设计者统计地完成他们的任务的速度)。这样加快了工业中的制造过程，因为产品的设计是制造过程的部分。

建模对象可以表示在用例如CAD软件解决方案或CAD系统完成其虚拟设计之后要在现实世界中制造的产品的几何形状，例如，(例如机械)零件或零件的组件(或等效地零件的组件，因为从该方法的观点来看零件的组件可以被视为零件本身，或者该方法可以独立地应用于组件的每个零件)，或者更一般地为任何刚体组件(例如，移动机构)。CAD软件解决方案允许在各种和没有限制的工业领域(包括：航空航天、建筑、施工、消费品、高科技设备、工业设备、运输、海运和/或海上石油/天然气生产或运输)中的产品的设计。由该方法设计的3D建模对象因此可以表示工业产品，该工业产品可以是任何机械零件，例如，陆地交通工具的部分(包括例如汽车和轻型卡车设备、赛车、摩托车、卡车和电动机设备、卡车和公共汽车、火车)、飞行器的部分(包括例如机身设备、航空航天设备、推进设备、国防产品、航空设备、空间设备)、海军交通工具的部分(包括例如海军设备、商业船只、海上设备、游艇和工作船只、船用设备)、通用机械零件(包括例如工业制造机械、重型移动机械或设备、已安装的设备、工业设备产品、金属制品、轮胎制造产品)、机电或电子零件(包括例如消费电子产品器件、安全和/或控制和/或仪器产品、计算和通信设备、半导体、医疗仪器和设备)、消费品(包括例如家具、家居和园艺产品、休闲用品、时尚产品、硬商品零售商产品、软商品零售商产品)、包装(包括食品、饮料和烟草、美容和个人护理、家用产品包装)。

建模对象可以形成3D现实世界对象的离散几何表示，例如表示来自现实世界的对象，例如，机械零件。离散几何表示可以是2D或3D的。离散几何表示是一种数据结构，它包括一组离散的多条数据。每条数据可以被等效地称为离散元素。每条数据表示位于3D空间(当离散几何表示是3D的时)或2D空间(当离散几何表示是2D的时)的相应几何实体。每个几何实体表示3D对象的相应位置(换句话说，由3D对象表示的构成实体的材料的相应部分)或其2D表示。几何实体的聚合(即，联合或并置)一起表示3D对象或其2D表示。在示例中，离散几何表示可以包括数量高于100、1000或10000的多条这样的数据。

离散几何表示例如可以是点云，每个几何实体是一个点。替代地，离散几何表示可以是网格，每个几何实体是网格元素(例如，片或面，或者体积)。网格可以是规则的或不规则的(即，包括或不包括相同类型的面)。网格可以是多边形网格，例如，三角形网格或多面体网格(例如，四面体网格)。网格可以是从点云中获得的，例如是通过三角测量点云(例如，用Delaunay三角测量)而获得的。

PLM系统还表明适于管理表示物理制造产品(或要制造的产品)的建模对象的任何系统。因此，在PLM系统中，建模对象是通过适合用于制造物理对象的数据来定义的。这些通常可以是尺寸值和/或公差值。对于正确制造对象来说，具有这样的值确实更好。

CAM解决方案还表明适于管理产品制造数据的任何解决方案、软件或硬件。制造数据通常包括与要制造的产品、制造过程和所要求的资源相关的数据。CAM解决方案用于规划和优化整个产品制造过程。例如，它能够向CAM用户提供关于制造过程的可行性、持续时间或资源数量的信息(例如，在制造过程的特定步骤中可能使用的特定机器人)；从而允许对管理或所要求的投资做出决策。CAM是CAD过程和潜在的CAE过程之后的后续过程。这样的CAM解决方案由达索系统公司以

CAE解决方案还表明适于分析建模对象的物理行为的任何解决方案、软件或硬件。一种众所周知且广泛使用的CAE技术是有限元方法(FEM)，该方法通常涉及将建模对象划分成元件，这些元件的物理行为能够通过方程来计算和模拟。这样的CAE解决方案是由达索系统公司以商标

PDM代表产品数据管理。PDM解决方案表明适于管理与特定产品相关的所有类型数据的任何解决方案、软件或硬件。PDM解决方案可以供产品生命周期中的所有参与人员使用：主要是工程师，但也包括项目经理、财务人员、销售人员和采购人员。PDM解决方案通常基于面向产品的数据库。它允许参与人员共享关于其产品的一致数据，从而防止参与人员使用不同的数据。这样的PDM解决方案是由达索系统以商标

“设计建模对象”是指是制作建模对象的过程的至少部分的任何动作或一系列动作。因此，该方法可以包括从头开始创建建模对象。替代地，该方法可以包括提供先前创建的建模对象，然后修改该建模对象。建模对象的设计在制造CAD领域中特别相关，也就是说，对于辅助设计过程和制造过程的软件解决方案特别相关，其目标是生产与设计的建模对象相对应的物理产品。在该背景下，建模对象表示可以在其设计的下游制造的制造产品。因此，该方法可以是这样的设计和/或制造过程的部分。该方法可以例如形成这样的设计和/或制造过程或者是这样的设计和/或制造过程内的部分。换句话说，该方法可以被包括在制造CAD过程中，在该步骤处，调整/获得/编辑CAD模型以用于制造CAD过程的后续步骤(例如，进一步的设计/编辑动作、测试、模拟和/或制造)。该方法可以被包括在许多其他的使用通过该方法检测到的CAD特征的应用中。

如上面所讨论的，该方法可以被包括在制造过程中，该制造过程可以包括：在执行了该方法之后，生产与建模对象相对应的物理产品。在任何情况下，由该方法设计的建模对象都可以表示制造对象。因此，建模对象可以是建模实体(即，表示实体的建模对象)。制造对象可以是产品，例如，零件或零件的组件。因为该方法改进了建模对象的设计，因此该方法也改进了产品的制造，从而提高了制造过程的生产率。

建模对象表示在材料中形成的机械零件。该材料在物理性质方面具有各向异性行为，即，物理性质根据材料内的方向/取向而变化。

该方法包括在步骤S10处提供一些输入。现在讨论输入，应当理解，还可能提供另外的输入。

输入包括第一网格。由此提供(或获得)第一网格。第一网格可以是本领域已知的有限元网格(FE网格)。第一网格表示包含建模对象的空间。有限元网格可以是规则的或不规则的。规则的FE网格允许更容易的计算，例如在拓扑优化期间就是如此。FE网格可以是任何类型的，例如每个有限元是三角形或矩形(当网格是2D的时)或者四面体或六面体(当网格是3D的时)。提供FE网格可以包括定义被布置为包含建模对象的空间和对该空间的网格设置。该方法可以包括向用户显示FE网格，并且由用户定义拓扑优化的其他输入，例如包括通过在所显示的FE网格上的图形用户交互而进行的输入。关于定义元素的“图形用户交互”表明任何用户交互，其中，设计者采用触觉系统(例如，鼠标或触摸设备，例如，感应/触摸屏或感应/触摸板)来激活显示单元的一个或多个位置以及元素将被定位到的位置。激活场景的位置可以包括在其上定位鼠标光标或者在其上执行触摸。在激活之后可以基本上实时地显示所定义的元素的表示。

输入还包括密度场。密度场表示建模对象的至少边界。建模对象的边界表示建模对象的界限，并且定义内部点和外部点；内部点是属于对象的点，而外部点是不属于对象的点。在示例中，建模对象是呈实体的3D建模对象，并且建模对象的边界定义了属于该实体的点(例如，对象的物质)和在该实体外部的点。在示例中，建模对象是限定2D表面的界限的2D建模对象，并且属于2D表面的内部点表示2D建模对象。

在示例中，密度场还可以表示建模对象的材料量的分布，即，网格上的材料的体积分数的值(例如，当网格是FE网格时为网格的每有限元)。材料分布可以是网格上的材料量(例如，体积分数)的分布(即，布局)，即，密度场。如上面所提到的，密度场可以是拓扑优化的结果。如本身所已知的，拓扑优化可以通过改变/修改网格的每个元素中的材料量(例如，体积分数)(作为设计或自由变量)来探索候选材料分布以优化目标函数。在示例中，目标函数的自由变量可以直接是网格上的材料量(例如，体积分数)的分布(即，布局)。目标函数可以依赖于材料参数(即，目标函数的固定变量可以涉及材料参数)，并且优化可以在约束条件(包括全局量约束)下执行(即，约束优化)。网格的每个元素可以具有给定的相对密度值，其定义了网格是空的还是充满了材料，它们分别由值“0”和“1”来定义。另外，为了使优化问题是连续的，一般拓扑优化可以允许元素取0至1之间的任何值。这可以被称为“放松”。由于具有中间密度的元素的解释可能是不明确的，因此一般拓扑优化工作流程可以引入惩罚方法，该惩罚方法迫使中间元素密度对于结构行为的全局效率低于分别具有0或1的下限和上限的元素。可以根据本领域已知的任何算法(例如，迭代算法)来执行优化。

输入还包括取向张量场。取向张量场表示期望的各向异性行为。“期望的各向异性行为”表明与正在被设计的对象的条件相对应的设计对象的各向异性。

然后，在步骤S20处，该方法针对取向张量场的每个第i个主方向计算第i个网格上的各向异性反应扩散图案。“主方向”本身表明取向张量场的特征值的方向，即，与取向张量场的主曲率相对应的方向。

每个第i个网格比第一网格具有更高的分辨率，即，具有更大数量的网格元素。在示例中，第一网格是包括离散几何和拓扑单元的FE网格，并且每个第i网格具有比第一网格的单元数量更多数量的相似单元。

每个第i个网格由建模对象的边界来界定。换句话说，每个第i个网格被包含在第一网格中；第一网格和每个第i个网格的边界可以重合。因此，每个第i个网格具有在由第一网格上的密度场表示的建模对象的边界所界定的区/体积内部定义的区/体积或与由第一网格上的密度场表示的建模对象的边界所界定的区/体积重合的区/体积。任何第i个网格可以是如上面所讨论的FE网格。与第i个主方向相对应的每个第i个网格可以和与第j个主方向相对应的第j个网格相同。在示例中，所有第i个网格都可以是相同的网格。“各向异性反应扩散图案”表明与各向异性反应扩散方程组的解相对应的图案。

然后，在步骤S30处，该方法通过布尔运算来组合投影在第二网格上的所计算的各向异性反应扩散图案。布尔运算可以包括一个或多个各向异性反应扩散图案的一个或多个合取和/或析取。“投影在第二网格上”表明各向异性反应扩散图案中的每个各向异性反应扩散图案都投影在第二网格上。布尔运算然后可以施加于所投影的图案。第二网格可以是第i网格中的任何一个。在示例中，第二网格可以是如上面所讨论的FE网格。

在示例中，计算在第i个网格上的各向异性反应扩散图案可以包括基于取向张量场来计算各向异性扩散张量。计算第i个网格上的各向异性反应扩散图案还可以包括基于反应扩散系统来计算第i个网格上的各向异性反应扩散图案。反应扩散系统可以包括依赖于所计算的各向异性扩散张量的扩散。

在示例中，基于反应扩散系统来计算第i个网格上的各向异性反应扩散图案包括计算第i个网格上的反应扩散系统的解。该解可以是在第i个网格上的满足反应扩散系统的值的分布。“计算在第i个网格上的反应扩散系统的解”表明根据针对第i个网格的每个元素的值的分布来获得值。反应扩散方程组可以是依赖于时间的(即，瞬态)方程组。在示例中，依赖于时间的反应扩散系统的解可以是方程组的稳态解。依赖于时间的方程组的稳态解可以是满足一个或多个收敛准则的解。在示例中，当两个连续解(即，与两个连续时刻相对应的解)之差(例如，根据密度场计算的总质量的差)小于阈值时，满足一个或多个收敛准则。在示例中，阈值可以小于或等于0.1、0.05或0.01。替代地或额外地，当计算特定数量的解(例如，每个解属于一个时刻)时或者在计算特定时刻的解之后，满足一个或多个收敛准则。进一步任选地或额外地，当用户输入时(例如当在屏幕上向用户示出结果时用户满足该结果时)，满足一个或多个收敛准则。

反应扩散系统可以包括初始条件和一个或多个边界条件。因此，反应扩散系统的解的计算还基于初始条件和边界条件。

在示例中，基于反应扩散系统来计算各向异性反应扩散图案还可以包括通过计算针对等表面值的计算解的等表面来计算图案。等表面是表示常数值的点的2D或3D表面(在2D中可以被等效地称为等值线或等值曲线)；换句话说，它是连续函数的水平集。因此，该图案可以与其值显著等于相应等表面的等表面值的点相对应。“显著相等”表明图案的(一个或多个)值可以在包括相应等表面值的范围内，例如，[s-α，s+β]、其中，s是相应等表面值，并且α和β是两个正数。在示例中，α和β可以小于或等于等表面值(例如，等表面值的绝对值)的量级的10％或5％。该方法可以根据计算机图形或计算几何领域中的任何已知方法(例如，移动立方体算法或双重轮廓算法)来计算等表面。等表面值可以是预定义的值或由该方法设置的值。在示例中，所有等表面值(每个等表面值与一个主方向相对应)可以等于相同的值。替代地，等表面值可以等于针对每个主方向的不同值。这使得该方法能够根据第i主方向是否沿着第一主方向定向来计算等表面。在示例中，该方法可以通过在执行布尔运算之前执行对等表面的移位来放大沿着第一主方向定向的图案和/或缩小不沿着第一主方向定向的(一个或多个)图案。“移位”表明(例如根据阈值)移位(即，修改)针对相应等表面的值。在示例中，该移位可以是滤波步骤的部分，该滤波步骤包括对两个值之间的等表面进行阈值化，该阈值化被应用来相对于每个方向对等值进行移位。这通过增强所设计的建模对象的结构性能，通过与沿着(一个或多个)其他方向定向的(一个或多个)图案相比扩大沿着第一主应力方向定向的图案来构成改进的解决方案。特别地，这允许沿着每个方向加厚或减薄图案。

在示例中，该方法还可以包括提供实体材料图。该方法可以针对每个第i个网格计算实体材料图，或者在所有第i个网格都是相同网格的示例中只计算一个实体材料图。针对第i个网格的每个元素，(第i个网格上的)实体材料图可以表示在该元素处的取向张量场的取向与在邻近元素处的取向张量场的取向的对准。该方法可以评估关于第一主方向的对准。这使得该方法能够检测具有奇点的取向张量场的区域。另外，反应扩散系统可以包括依赖于所计算的各向异性扩散张量的扩散和依赖于所提供的实体材料图的反应。这使得该方法能够在与取向张量场中的奇点相对应的区处填充各向异性反应扩散图案。

在实施例中，针对主方向i，反应扩散系统是Gray-Scott模型的形式：

其中，σ

在示例中，计算第i个网格上的各向异性反应扩散图案还可以包括对第i个网格上的取向张量场和密度场的上采样。在示例中，提供密度场和/或取向张量场可以包括这样的上采样。“对第i个网格上的取向张量场和密度场的上采样”表明从在粗网格(即，第一网格)上提供的值中找到细网格(即，第i个网格)上的取向张量场和密度场的相应值。如本身所已知的，上采样是用于提高采样率(例如，网格分辨率)的过程。该方法可以计算在具有较高分辨率的网格上的各向异性反应扩散图案，并且上采样使得该方法能够获得在具有较高分辨率的网格上的相应值。在示例中，上采样可以获得针对σ

在建模对象是3D建模对象的示例中，通过布尔运算进行的组合可以包括计算在第i个网格上的第一图案

其中，

在建模对象是2D建模对象的示例中，通过布尔运算进行的组合可以包括计算在第i个网格上的第一图案

其中，

在示例中，第一网格可以是有限元网格，并且提供密度场可以包括提供与第一网格相关联的数据。相关联的数据可以包括表示机械零件的使用条件的数据。与第一网格相关联的数据可以包括形成一个或多个相应载荷情况的一个或多个力。换句话说，相关联的(数字)数据包括(数字)向量(例如，具有以牛顿或其倍数为单位的量值)，每个(数字)向量都适用于并链接到FE网格的一个或多个有限元。这些(数字/虚拟)力表示机械零件在被使用时将承受的现实世界载荷。换句话说，对于在数据中存在相应力的FE网格的一个或多个有限元中的每个有限元，数据表示在与所述一个或多个有限元相对应的位置处的机械零件的材料将承受现实世界中的对应载荷的事实。但是，由于机械零件理论上可能承受无限多的载荷，因此数据中存在的数字力并不能表示所有载荷。数字力仅表示整套载荷的限制，例如最重要的载荷和/或最有代表性的载荷。可以针对每个建模问题确定数字力，并且可以选择该数字力作为对象在其生命周期期间可能承受的最大(即，最高量值)的现实世界的力，因为这些现实世界的力倾向于引起最大的变形和机械应力。如制造CAD的领域本身已知的，同时施加的一组一个或多个现实世界的力可以被分组在所谓的载荷情况中。当存在两种或更多种载荷情况时，它们不一定被同时施加在机械零件上，并且无法相互累积/补偿。在示例中，一个工业问题可以有一种至十几种载荷情况。在示例中，用户可以经由图形用户交互来选择FE网格的有限元，并且然后指定可施加于该有限元上的力。换句话说，载荷情况可以包括一组同时作用在物理对象上的现实世界的载荷/力。模型能够在不同的时间经历不同的荷载情况(例如，考虑遭受阵风的建筑物)。因此，相关联的数据中的数字力可以表示同时施加到物理对象的若干现实世界的力(即，载荷情况)。

与第一网格相关联的数据还可以包括一个或多个边界条件。边界条件是对建模对象的边界的约束。每个边界条件应用于并链接到网格的一个或多个有限元并且表示机械零件在使用中受到的边界上的相应约束。边界条件可以被等效地称为运动约束。换句话说，每个边界条件表示以下事实：在与所述一个或多个有限元相对应的位置处的机械零件的材料受到对其位移的约束(例如使用Dirichlet边界条件对其位移产生的约束)。元素的位移(除了别的以外)可以被约束为沿着平面，沿着曲线，沿着/围绕轴或者到/围绕点，并且/或者它的位移可以仅在平移方面受到约束，仅在旋转方面受到约束，或者既在平移方面又在旋转方面受到约束。在位移在平移方面和在旋转方面都被约束到点的情况下，元素在3D或2D空间中是固定的并且被称为“被夹紧”。然而，元件的位移可以被约束为沿平面平移但在所述平面上自由移动(例如在它属于被安装在轴承上的对象的情况下)，沿着轴平移但在所述轴上自由移动(例如在活塞中)或者绕轴旋转(例如，机器人臂的关节)。在示例中，边界条件表示所有受约束的边界。换句话说，针对旨在最终包含受到约束(例如保持固定)的材料的FE网格的每个有限元，可以关联边界(例如，夹紧)条件以将该事实整合到拓扑优化中。在示例中，用户可以经由图形用户交互来选择FE网格的有限元，并且然后指定边界条件施加于该有限元。在示例中，机械零件的一个或多个受到约束的边界包括一个或多个固定边界或由一个或多个固定边界组成(即，在所述一个或多个边界处的材料不能移动)，并且对应的一个或多个边界条件是夹紧条件。

与第一网格相关联的数据还可以包括与材料相关的一个或多个参数。这些材料参数可以特别表示材料的物理特性，例如，材料在物理性质方面的特性。材料参数可以例如与材料在物理性质方面的本构定律相关。例如，材料参数可以包括与本构定律相关的任何物理量。在示例中，用户可以例如通过从列表中选择来指定材料(例如，层压板和/或复合材料，例如，木材、玻璃纤维、碳纤维、陶瓷基质材料或氧化铝基质材料)，并且/或者该系统可以例如基于一个或多个公式和/或基于数据库来自动确定材料参数和/或向用户建议其选择。该材料能够是任何材料，例如，实体和/或各向同性材料，例如，金属(例如，钢、银、金、钛)、塑料(尼龙、ABS、聚碳酸酯、树脂)、陶瓷或复合材料。物理性质可以是硬度，并且本构定律可以将硬度表示为应力与应变之间的本构关系，这本身在力学领域是已知的。硬度可以依赖于杨氏模量、泊松比和剪切模量，这本身在力学领域是已知的。

该数据还可以包括关于有限元网格中的材料的全局量的全局量约束。全局量约束与FE网格中的材料的全局量相关。换句话说，全局量约束限制了整个FE网格中的材料总量的值。全局量约束可以例如被提供为能够用材料填充的(整个)FE网格的分数的界限，例如，所述分数的上限。替代地，全局量约束可以提供必须达到的值，而不是界限。然而，在执行拓扑优化的示例中，所述拓扑优化可以优化目标函数，该目标函数倾向于在优化结果中使用尽可能多的可用材料，使得这样的公式约束等效于上限约束。在所有情况下，该分数可以是体积分数(在这种情况下也被称为GVC，如在“全局体积约束”中那样)。在其他示例中，全局量约束可以涉及表示材料重量的值。

在示例中，提供密度场还可以包括基于第一网格并基于与第一网格相关联的数据来执行拓扑优化，从而获得密度场。换句话说，执行拓扑优化会使得获得密度场。该方法可以根据任何已知的方法来执行拓扑优化。如上面所讨论的，密度场表示建模对象的至少边界。

在示例中，提供取向张量场可以包括：针对取向张量场的每个位置，基于密度场和与第一网格相关联的数据来计算局部应力张量。提供取向张量场还可以包括基于局部应力张量场来计算在该位置处的取向张量场。该方法可以使用任何已知的方法(例如，有限元分析)来计算局部应力张量。所计算的局部应力张量可以是对称的实张量，因此例如在标准正交基中是可对角化的。这允许提取(在2D中为两个并且在3D中为三个)垂直主方向，然后将其用作各向异性方向，以用于计算方向中的每个方向上的各向异性反应扩散图案。

在示例中，计算取向张量场可以包括基于局部应力张量的主特征向量来计算第一取向。如本身已知的，主特征向量是与最大量值的特征值(即，最大绝对特征值)相对应的特征向量。计算取向张量场还可以包括基于主特征向量和局部应力张量来计算一个或多个其他取向。在建模对象是2D建模对象的示例中，该方法可以计算垂直于主特征向量的一个或多个其他方向。在建模对象是3D建模对象的示例中，该方法可以计算两个其他方向作为局部应力张量的第二特征向量和第三特征向量(任选地按照各自的特征值的量值来排序)。该方法可以计算取向，使得其他取向中的每个取向都描述两个向量场，其中，每个场内部的向量之间具有最大对齐。替代地，或者在第二特征向量和/或第三特征向量与低应力水平相对应的示例(即，当针对第二特征向量和第三特征向量中的每项的对应特征值是小量值(例如小于最大量值的特征值的百分之十或百分之五)时)中，该方法可以生成第二取向和第三取向，第二取向和第三取向中的每项通过第一取向与恒定向量(例如，标准基)之间的叉积来生成。这提高了所计算的取向张量场的相干性。对于三维情况，后两个向量场可以根据它们与它们的实际平均全局取向的对齐来排序。换句话说，如果v1(x)、v2(x)是位于x中的元素的最后两个特征向量，则

图8示出了该系统的GUI的示例，其中，该系统是CAD系统。特别地，拓扑优化方法的输出可以被导入到GUI 2100中，使得用户能够在其上执行设计编辑。GUI 2100可以是典型的类似CAD的界面，其具有标准菜单栏2110、2120以及底部工具栏2140和侧面工具栏2150。这样的菜单和工具栏包含一组用户可选择的图标，每个图标与一个或多个操作或功能相关联，如本领域所已知的那样。这些图标中的一些图标与软件工具相关联，其适于在GUI 2100中显示的3D建模对象2000上编辑和/或工作。软件工具可以被分组成多个工作台。每个工作台包括软件工具的子集。特别地，工作台中的一个工作台是编辑工作台，其适合用于编辑建模产品2000的几何特征。在操作中，设计者可以例如预先选择对象2000的部分，然后启动操作(例如改变尺寸、颜色等。)或者通过选择适当的图标来编辑几何约束。例如，典型的CAD操作是对在屏幕上显示的3D建模对象的冲压或折叠进行建模。GUI可以例如显示与所显示的产品2000相关的数据2500。在该图的示例中，显示为“特征树”的数据2500及其3D表示2000涉及包括制动钳和制动盘的制动组件。GUI还可以示出各种类型的图形工具2130、2070、2080，它们例如用于促进对对象的3D定向，用于触发对编辑的产品的操作的模拟，或者呈现所显示的产品2000的各种属性。光标2060可以由触觉设备来控制，以允许用户与图形工具进行交互。

图9示出了该系统的示例，其中，该系统是客户端计算机系统，例如，用户的工作站。

该示例的客户端计算机包括连接到内部通信BUS 1000的中央处理单元(CPU)1010、也连接到该BUS的随机存取存储器(RAM)1070。客户端计算机还被提供有图形处理单元(GPU)1110，GPU 1110与连接到该BUS的视频随机存取存储器1100相关联。视频RAM 1100在本领域中也被称为帧缓冲器。大容量存储设备控制器1020管理对大容量存储设备(例如，硬盘驱动器1030)的访问。适合用于有形地体现计算机程序指令和数据的大容量存储设备包括所有形式的非易失性存储器，例如包括半导体存储设备，例如，EPROM、EEPROM和闪存设备；磁盘，例如，内部硬盘和可移动磁盘；磁光盘；以及CD-ROM盘1040。任何前述内容都可以由专门设计的ASIC(专用集成电路)来补充或者并入其中。网络适配器1050管理对网络1060的访问。客户端计算机还可以包括触觉设备1090，例如，光标控制设备、键盘等。在客户端计算机中使用光标控制设备，以允许用户选择性地将光标定位在显示器1080上的任何期望位置处。另外，光标控制设备允许用户选择各种命令和输入控制信号。光标控制装置包括多个信号生成设备，以用于向系统输入控制信号。典型地，光标控制设备可以是鼠标，鼠标的按钮用于生成信号。任选地或额外地，客户计算机系统可以包括感应垫和/或感应屏。

计算机程序可以包括能由计算机运行的指令，该指令包括用于使上述系统执行该方法的单元。该程序能被记录在任何数据存储介质上，包括该系统的存储器。该程序可以例如被实施在数字电子电路中，或者被实施在计算机硬件、固件、软件或者其组合中。该程序可以被实施为装置，例如，有形地体现在机器可读存储设备中以用于由可编程处理器运行的产品。方法步骤可以由运行指令程序的可编程处理器来执行，以通过对输入数据进行操作并生成输出来执行该方法的功能。因此，处理器可以是可编程的并且被耦合以从数据存储系统、至少一个输入设备和至少一个输出设备接收数据和指令并向数据存储系统、至少一个输入设备和至少一个输出设备发送数据和指令。如果需要的话，可以以高级过程或面向对象的编程语言来实施应用程序，或者以汇编或机器语言来实施应用程序。在任何情况下，该语言都可以是编译语言或解释语言。该程序可以是完整安装程序或更新程序。在任何情况下，在该系统上应用程序都会产生用于执行该方法的指令。

现在参考图2的示例流程图来讨论该方法的实施方式。

这些实施方式允许通过在多尺度工作流程中组合拓扑优化和反应扩散来创建由高效各向异性定向的微结构构成的设计。这些实施方式使用反应扩散方法来生成定向的微结构。特别地，这些实施方式通过经由以下措施来创建多尺度结构：

对局部图案的控制，以例如满足某些几何约束或者提高制造的可靠性，

与传统的各向同性材料相比，专门定制的各向异性微结构具有高物理性能，并且

通过仅在粗尺度上求解全局问题并然后在细尺度上生成详细微结构来快速生成高度详细的设计。

这些实施方式提供了对局部图案的控制、专门定制的各向异性微结构的高物理性能以及对高度详细设计的快速生成。

这些实施方式是多尺度方法并且遵循以下两个相继步骤：

第一步骤是对所考虑的设计问题的低分辨率(即，粗尺度)拓扑优化进行求解。这可以如本领域中已知的那样运行并且提供两个关键组成部分：呈密度场形式的关于材料分布的信息，以及呈取向场形式的关于材料方向的信息。这些实施方式可以包括通过计算空间中的每个点处的局部应力张量来提供取向场。替代地，这些实施方式可以包括通过专门为产生优化的材料取向而设计的拓扑优化问题的不同公式来提供取向张量场。在示例中，这些实施方式可以包括通过根据在2019年12月16日提交的EP 19306655.2中公开的用于设计3D建模对象的方法优化取向场来提供取向场，通过引用将其并入本文。

第二步骤是针对取向场的每个主方向执行高分辨率(即，细尺度)各向异性反应扩散，然后将所得到的反应扩散图案组合成单个完整结构。

这些实施方式产生了在取向奇点或发散附近具有改善的规则性的结构。与本领域中要求复杂且通常不可靠的重新定向或匹配方案的其他投影或去均匀化方法相比，这是有利的。这种差异归因于反应扩散图案自然倾向于自发地形成高度规则、低能量、松弛的几何结构。此外，反应扩散固有的基于局部增长的性质允许将这些实施方式用作一种结构的“自动完成”。这使得能够快速编辑结构，例如通过允许设计者交互地擦除不满意的区域或者绘制用作约束的引导形状来实现这一点。

拓扑优化

在低分辨率网格上进行初步结构优化(即，上面讨论的第一步骤)的目的是找到将用作微结构材料填充物的边界的整体形状。初步结构优化可以包括受到整体体积约束的传统顺应性拓扑优化问题，该问题依赖于基于密度的方法，该方法被俗称为具有惩罚的实体各向同性材料(SIMP)方法。SIMP方法首先将设计空间分别在2D或3D中分隔成离散区或体积。因此，在这个经分隔的设计空间中生成设计被简化为寻找应当用实体各向同性材料填充的元素的子集，而其他元素表示为空心。此外，为了促进优化过程，设计变量被放宽，这表明设计空间Ω中的每个元素e被赋予连续性质0≤ρ(x)≤1(这被称为密度)，而不是具有二元设置(即，实心/空心)。

有了基础材料的杨氏模量E

由于中间密度值(即，不同于0或1的密度)的大区域没有直接的物理解释，因此SIMP插值方案引入了惩罚因子p>1，被施加为密度值的指数。惩罚因子具有的值在区间[1，6]内，并且通常被选择在p＝3左右，以阻止优化算法从硬度的角度保持它们。

在设计空间中寻找最佳的材料分布包括使得通过总应变能量所测量的顺应性最小化，并且被表示如下：

J(ρ)＝f

其中，f和u分别是节点力向量和节点位移向量。

假定为线性结构模型，则通过状态方程中的全局硬度矩阵K来连接向量f和u：

K＝fu

这里描述的顺应性优化问题提出了简单的解决方案，其中，如果不施加额外约束，则无论载荷和边界条件如何，每一个元素密度都被设置为其最大允许值(即，

argminJ(ρ)＝f

其中，v

为了确保适定的优化问题，这些实施方式可以对密度场的长度尺度进行控制。这可以通过使用过滤器来实现。例如，这些实施方式可以通过像梯度上的卷积运算这样的函数来使用灵敏度过滤器，其中，新的过滤的灵敏度是每个元素周围的固定邻域中的灵敏度的加权平均值。在没有任何过滤器的情况下，目标函数J关于每个优化变量ρ

其中，u

在示例中，过滤的梯度

其中，ω是x的邻域中的元素的集合，w

w

参考图2，初步结构优化可以包括步骤210-214：计算有限元模型和应用边界条件(步骤210)，初始化设计变量(步骤211)，评估(拓扑优化的)目标函数(步骤212)，评估目标函数关于设计变量的梯度(步骤213)，并且使用数学编程来更新设计变量(步骤214)。这些实施方式可以循环迭代地重复步骤212至214，直到实现收敛为止。该方法可以在步骤215中收敛后输出最终应力张量。

图3呈现了拓扑优化的实施方式的示例。图3A描绘的优化场景具有边界条件310和负载311，这被称为悬臂问题，这是文献中的标准测试案例。图3B呈现了低分辨率网格上的数值优化。

应力场

一旦优化完成，参考图2的步骤216，这些实施方式就可以使用每个正方形/立方体元素的顶点的节点力值来计算每个正方形/立方体元素的应力张量。所得到的矩阵σ(x)是对称实数并且能够在正交基上对角化。换句话说，这些实施方式可以计算矩阵σ(x)的特征向量和特征值。这些特征向量能够被分类，以便建立两个或三个相干的取向场。第一特征向量场由具有最大绝对特征值的特征向量给出。在2D中，第二向量场是通过与第一特征向量正交而直接推导出来的。在3D中，这些实施方式存储两个最后的特征向量，使得它们描述了两个向量场，其中的每个场内部的向量之间都具有最大对齐。在由于应力值相对较低而使得第二特征向量和第三特征向量在各自的特征值中可以忽略的示例中，这些实施方式从第一方向与恒定向量的叉积中人工生成这些方向。恒定向量可以是笛卡尔坐标系的标准基之一(即，e

由于沿着取向场的大多数网格划分问题出现在有奇点的地方，因此这些实施方式可以用完整的实体材料填充这些区。因此，这些实施方式可以计算“实体材质图”(图2的步骤217)，以指示发生这些问题的问题区域(或区)在哪里。该方法可以完全填充这样的问题区域。在示例中，这些实施方式针对每个元素计算与其邻居的平均标量积(绝对值)以局部评估其相对于其周围向量的对齐情况：

其中，N(x)和N

其中，β增加了实体区域的大小，并且Z是重整化因子。图3D图示了悬臂2D问题的这样的图的示例。在示例中，替代地或额外地，可以由用户(例如，设计者)完成(即，设置)实体材料图以填充其他特定区。在该图部分由用户设置的示例中，可以通过如下公式获得最终图：

Γ(x)＝(Γ

其中，Γ

各向异性Gray-Scott反应扩散

图灵图案的概念描述了诸如条纹、斑点、螺旋、前沿、目标、六边形之类的自然图案是如何从同质且统一的状态中自然产生的。图灵图案的理论通过反应扩散机制解释了图案的形成。反应扩散系统通常用于研究一种或多种化学物质(当与生物学领域相关时，也被称为形素)的浓度在空间和时间上的变化。浓度变化是因两个过程引起的：局部化学反应，以及扩散，在局部化学反应中，物质相互转化，扩散使物质在空间表面扩散。

在反应扩散(RD)系统的最普遍的形式中，反应扩散(RD)系统能够由这个偏微分方程(PDE)来描述：

其中，C是形素浓度的向量，

这些实施方式可以特别采用双组分RD模型，即，Gray-Scott模型，其中，只有一种物种进行了各向异性扩散。对应的PDE能够被写为：

其中，d<1是两种物种之间的扩散速率，σ是各向异性扩散矩阵(使得Tr(σ)＝1，其中，Tr是轨迹)，γ控制图案长度尺度、F是物种的馈送速率，并且k是物种的杀死速率v。

这些实施方式使用图来设置F和k的值，如图4所示，在图4中，RD是针对(F,k)∈[0,1]

RD系统能够根据通过σ给出的局部有利方向来产生定向图案。为了完全控制用于结构设计的图案，这些实施方式限制了设计区Ω

其中，如果x∈Ω

这些实施方式可以将RD的初始条件设置为在任何地方都有u(x,t＝0)＝1，并且除了v(x∈ω,t＝0)＝1以外，v(x,t＝0)＝0，其中，ω是Ω

这些实施方式还可以填充(例如，完全填充)由实体材料图给出的一些特定区Γ(x)。然后，参数k将该图考虑在内，以阻止在这些位置处“杀死”物种v的反应：

k(x)＝k(1-αΓ(x))

参数α∈[0,1](通常α＝0.5)调整这些区域应被填充的程度。

结构编译

上面计算的应力张量在正交基上是可对角化的，并且在每个元素处能够被写为：

σ＝RΛR

其中，R是根据如上面所讨论的那样分类的特征向量而计算的旋转矩阵(即，从第一特征向量到第二特征向量(在2D中)和第三特征向量(在3D中)，并且Λ是对应的特征值的对角矩阵。

这些实施方式可以通过将ξ>1定义为定制各向异性来为每个主应力方向i的应力张量构建扩散张量：

其中，D

这些实施方式可以对通过拓扑优化给出的密度场进行上采样来获得平滑的上采样密度场。然后，这些实施方式可以对设计区Ω

然后通过对通过

最终，这些实施方式可以根据尺寸通过布尔运算来编译最终结构(图2的步骤223)。在2D中：

并且在3D中：

为了增强所得到的结构的结构性能，这些实施方式可以通过在执行布尔运算之前对

其中，s

图6A和图6B分别给出了悬臂问题在2D和3D中的最终结构的示例。图7(a)至图7(i)呈现了2D悬臂问题的时间演变，其中，时间(即，RD方程的相应时间)从图7(a)演变到图7(i)。