一种无网格法的二维分形目标体频域电磁数值模拟方法

技术领域

本发明涉及一种无网格法的二维分形目标体频域电磁数值模拟方法，适用于分形目标体的电磁响应数值模拟，尤其是可控源频率域电磁法中分形目标体的电磁响应数值模拟。

背景技术

可控源频率域电磁法，通常选用接地长导线作为发射源，并在远区接收电场和磁场，再通过电场和磁场的比值建立频率与地下电性结构的关系，达到获得地下信息的目的，具有探测深度大、信噪比高等优点，目前在矿产勘查、地热勘查和石油勘探等领域都取得了良好的应用效果。随着对地质结构的研究不断深入，传统的单一参数电导率模型已经无法涵盖复杂地质结构的宏观电导率特性，因此，建立更加符合复杂地质结构的电导率模型是提升地质解释精度的关键技术之一。

无网格法近些年在电磁场数值计算领域越来越被广泛使用，它的基本思想是在计算点附近搜索一定范围内的若干节点，采用形函数插值的方式实现对计算点上电场或磁场的近似，具有计算精度高、自适应强和δ函数性等优点。由于该方法的节点可任意分布在计算区域而并非网格的固定位置，因此更适合于模拟复杂地质体。

C.J.Weiss等参照流经多孔介质、等离子体运输和分子碰撞等应用中的异常扩散行为，并基于已观察到的“非局部电磁效应”，提出将空间分数阶微分算子引入到电磁场的亥姆霍兹方程中，采用邓福德型积分法和有限元法实现了分数阶亥姆霍兹方程的数值求解，最后基于大地电磁模型验证了该方法的有效性。但该方法的公式推导过程十分复杂，求解过程也相对繁琐，且没有对应的物理模型，在实际验证中会存在一定问题。

分形是广泛存在于大自然的一种自相似形状，许多含孔隙的目标体也存在分形特征，且已有学者总结了分形目标体的电导率模型。因此，建立分形与空间分数阶的联系，使空间分数阶电导率模型具有实际物理意义，并寻求一种简便、准确度高的数值计算方法实现分形目标体的额电磁响应数值模拟，是本领域技术人员迫切解决的一个技术问题。

发明内容

本发明涉及一种无网格法的二维分形目标体频域电磁数值模拟方法，基于二维分形目标体的几何结构构建空间分数阶电导率模型；通过分数阶算子变换，将电导率的空间分数阶运算转换为分数阶拉普拉斯算子，从而获得空间分数阶电磁扩散方程；引入Caputo分数阶导数，将分数阶拉普拉斯算子进行空间离散，采用径向基点插值无网格法，将电场的偏微分运算转换为形函数的偏微分插值，最终实现二维分形目标体的频域电磁数值模拟。本发明的目的在于建立电导率分形与空间分数阶微分的映射关系，构建分形目标体的分数阶电导率模型，通过将无网格方法与Caputo微分相结合，克服分数阶拉普拉斯算子直接求解的复杂性，实现二维分形目标体频率域电磁响应的高精度数值模拟。

本发明是这样实现的，一种无网格法的二维分形目标体频域电磁数值模拟方法：

1)、基于分形目标体的电导率模型，通过波数域与空间域的映射关系，构建空间分数阶电导率模型；

2)、通过分数阶算子变换，将电导率的空间分数阶运算转换为分数阶拉普拉斯算子，从而获得空间分数阶电磁扩散方程；

3)、将分数阶拉普拉斯算子展开成分数阶微分形式，采用Caputo分数阶导数，将分数阶微分进行空间离散；

4)、采用径向基点插值无网格法，将电场的二阶偏微分运算转换为形函数的二阶偏微分插值，完成对Caputo分数阶中微分项的离散；

5)、采用高斯数值积分法，将积分运算转换为高斯数值积分累加，完成对Caputo分数阶中积分项的离散，使得分数阶扩散方程最终转变为关于电场的线性方程组；

6)、在计算区域内合理配置无网格法计算点和节点，设置无网格法形函数参数、高斯积分参数和电磁参数，加载诺依曼边界条件，施加人工电流源，采用LU分解法求解大型稀疏线性方程组；

7)、改变发射电流频率和分数阶的阶数，提取电场实部和虚部响应，计算视电阻率，进行成图，对结果进行分析处理；

其中步骤1中，分形目标体的电导率模型为：

其中，φ是分形目标体的孔隙度，D

假设p是波数p域，令p＝φ，则波数p域的电导率模型为：

σ

其中α＝D

其中，D为分数阶算子，α为分数阶的阶数，v表示x,y或z方向，σ

进一步地，将分数阶电导率表达式代入到电场的扩散方程中，得到：

其中

其中步骤2中，在分数阶算子D

其中s＝1-0.5α，一般情况下0.5

其中步骤3中，取xoz二维平面，在y方向无限长电流源的作用下，只含有y方向的电场E

进一步地，采用左侧和右侧Caputo分数阶定义将分数阶微分展开，左侧Caputo分数阶导数表达式为：

右侧Caputo分数阶导数表达式为：

其中

将Caputo分数阶导数代入到(6)中并加入源项，得到完整的频率域空间分数阶二维电场扩散方程表达为：

其中J

其中步骤4中，径向基函数无网格法的表达式为：

其中E

其中φ

其中步骤5中，先通过坐标变换将积分区间转化到单位子单元，以(11)中第一个积分为例，令

进一步地，高斯数值积分公式为：

其中η

最终控制方程将变为线性方程组，即：

KU＝P (15)

式中K为大型稀疏矩阵，U为电场列向量，P为源项，仅在含源处为电流I，其余位置为0。

本发明与现有技术相比，有益效果在于：建立电导率分形与空间分数阶的映射关系，使得分数阶电导率具有一定的物理意义。在频率域电磁控制方程中引入空间分数阶电导率模型，能够有效模拟电磁波在分形目标体条件下的传播特性；针对一维模型的局限性和前人在拉普拉斯算子上直接求解的复杂性，采用Caputo分数阶定义将分数阶拉普拉斯算子化简，并分别采用径向基点插值无网格法和高斯数值积分法离散微分项和积分项，解决了直接求解过于复杂的问题，达到了二维分形目标体对频率域电磁响应的高精度数值模拟目的。

附图说明

图1是一种无网格法的二维分形目标体频域电磁数值模拟方法示意图。

图2是以一维扩散方程为例，将无网格法数值解与米塔格-累夫勒函数作为解析解的对比图及误差曲线。

图3是二维可控源频率域电磁法中，不同分数阶导数与整数阶导数计算得到的电场实部和虚部随收发距变化的曲线。

图4是二维可控源频率域电磁法中，不同分数阶导数与整数阶导数计算得到的电场实部和虚部随发射频率变化的曲线。

图5是二维可控源频率域电磁法中，不同分数阶导数与整数阶导数计算得到的视电阻率随发射频率变化的曲线。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例

参见图1，一种无网格法的二维分形目标体频域电磁数值模拟方法，包括：

1)、设置计算区域为x：-40km～40km，z：-40km～40km，计算区域内节点均匀分布，节点间距为800米，总的节点数为101×101＝10201个；计算区域四个边采取诺依曼边界条件，人工电流源在(0m,0m)处。

2)、在整个计算区域设置电磁参数，包括发射频率、磁导率、介电常数、大地电导率、空气电导率等参数，本算例中的模型为均匀半空间模型，发射频率为2

3)、设置无网格法的参数，包括形函数种类的选取及形函数参数和支持域参数的设置，本算例中形函数φ选择径向基点插值形函数，由MQ径向基函数和多项式基函数组成，其表达式为：

式中R

4)、将空间分数阶电导率代入到控制方程中并离散、化简成最终的线性方程组表达式。

5)、初始化大型稀疏矩阵K，矩阵规模为10201×10201，加载第一个计算点并搜索支持域半径内的节点，插值得到形函数φ

6)、采用4点高斯积分公式，将定积分离散，再采用步骤5中的节点进行插值、求和，得到形函数的分数阶导数。

7)、将步骤6的结果赋值到大型稀疏矩阵的对应位置，再选取下一个计算点，重复5-6步骤，直至全部计算点循环完毕。

8)、加载诺依曼边界条件和电流源，采用LU分解法求解线性方程组，得到电场值。

9)、改变发射频率及分数阶的阶数，重复5-8步骤，并对计算结果进行保存、成图和分析。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。