一种桥梁响应的快速计算方法

技术领域

本发明涉及桥梁响应计算方法技术领域，尤其是涉及一种桥梁响应的快速计算方法。

背景技术

实时混合实验要求在极短的时间内计算出桥梁响应，这就对桥梁计算的实时性提出较高要求。传统商业有限元软件在模型精度高时，单步计算时间长；若需要单步计算时间短，模型精度较差。为此开发结合桥梁子模型自动更新的移动荷载积分算法，该方法可以用于真实桥梁或数值桥梁在不同工况下的响应计算，从而实现在保证精度的同时，缩短简支桥梁响应的计算时间。

高铁列车最高时速350km，高速磁浮列车最高时速有望达到600km/h，速度极快，车辆和桥梁之间的相互作用关系成为车辆能否安全运营的最重要因素之一。开展车桥耦合试验已经成为了高速列车商业运营前的必备步骤。为了降低实验成本，提高线路修建方案的可行性，实时混合实验开始被广泛采用，将真实车辆放置在用来模拟桥梁在受车辆作用下响应的振动台上，从而实现对车辆在桥梁上运行过程中车桥相互作用的模拟。为了保证试验的稳定性，实时混合试验要求每一步都需要在极短时间内完成，这就对桥梁(即数值子结构)响应的计算速度提出很高的要求。

对于实时混合试验中数值子结构的计算，国内外学者提出许多积分算法来提高积分的速度、准确性和稳定性，例如Newmark族积分算法、CR和KR-α积分算法等，但均无法很好的实现计算速度和计算精度的均衡。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术存在的无法很好的实现计算速度和计算精度的均衡等问题，提供一种桥梁响应的快速计算方法。

本发明包括以下步骤：

1)确定需要计算的桥梁形式，确定需要施加单位脉冲及提取响应的点的位置及数量；

2)结合桥梁子模型更新方法，确定不同子模型的范围；

3)根据有限元结合插值函数和影响域更新的移动荷载积分法，在有限元平台建立数值桥梁子模型，施加单位脉冲并提取出响应位置在相应时间步的响应；或在真实桥梁上，进行单位脉冲加载，并提取出相应位置的响应，并将桥梁响应保存成影响矩阵的形式；

4)在Matlab&Simulink平台的根据3)中所示方法编写程序，通过Simlink-realtime、Concurrent平台进行桥梁相应实时运算；通过力传感器将实际测得的车辆的力施加到通过移动荷载积分法计算的桥梁上，计算桥梁响应；

5)将计算得到的桥梁响应输出给振动台，振动台对响应进行复现，传递给放置在振动台上的车，从而得到车对桥梁下一步的施加力。；重复步骤4)，实现闭环实验，模拟出车在桥上运动时的车桥作用关系。

在步骤2)中，所述桥梁子模型更新方法以有限元法为基础，是离散的数值方法，可运用于模型复杂的桥梁结构，在进行计算前选择合适的桥梁子模型范围，在计算时根据车辆荷载作用位置与桥梁的相对位置判断是否需要更新模型，对于多跨简支梁模型，模型更新算法的更新规则是阶跃式的，在一定的时间段内桥梁模型的时不变；

在步骤3)中，所述建立数值桥梁子模型后施加单位脉冲并提取相关位置点响应的方法，通过考虑荷载和有限区域内的桥梁结构的作用，得到一个动力学模型；依次对点施加步长与混合试验步长相等的单位脉冲，提取并记录好其他在步骤1)中选取好的所有提取响应点的桥梁响应，单位脉冲及提取响应的频率应该与实际实时混合试验中桥梁的响应输出频率一致，记录好相应数据，并将信息编写成影响矩阵；

具体方法及步骤如下：

移动荷载在桥上运动的过程中，每一时间步施加的荷载会对后续施加荷载产生的桥梁响应产生影响，f(x,t)表示当移动荷载运动到x位置时，在t时刻桥梁的受力，根据叠加可以分解为：

上式中m表示总的计算时间步，下标n表示计算时步，t

在线弹性结构中，桥上各点在移动荷载下的位移u(x,t)可以根据线性叠加原理表示为：

上式中，u

在移动荷载行进速度及试验仿真步长都确定的情况下，移动荷载每一时间步下在结构上的作用位置是唯一的，在计算桥梁响应时，也只需要计算移动荷载作用点的响应，并不需要计算完整结构的响应。因此u

对于给定的行驶速度为x

此时，可以将各时间步对应位置的影响因子u

U

荷载F

u

拓展到多个力时，位移u

假设每个时间步有y个力施加到桥上，影响因子u

f

为进一步提高移动荷载积分法的适用性及前处理速度，在移动荷载积分法中引入插值函数。提前在相同的数值子模型有限元桥梁中，平均选取一系列均匀的荷载施加及响应提取点，依次对点施加单位脉冲，提取并记录好在所有点的桥梁响应。根据每个子模型中的荷载作用位置，通过插值函数分配荷载至最近的两个响应提取点，计算响应后再通过插值函数叠加得到该荷载作用位置的响应值，从而计算得到影响矩阵。

该方法中，可根据实际情况添加非线性，具体方法及流程如下：

由有限元一般理论，车桥耦合系统中数值桥梁的动力平衡方程为：

其中，R(u(t))为内力，是单元节点位移u的隐式非线性函数；M和C是结构的质量矩阵和阻尼矩阵，P是施加在节点上的外力矢量；

假设非线性部分材料的本构关系为简单的双线性弹塑性关系；

计算桥梁响应时，先计算非线性构件的受力，判断其是否已经进入塑性区间；若未进入塑性区间，构件处在弹性阶段，不需进行修正；若已经进入塑性区间，则对构件变形进行修正；

用弹塑性数值子结构方法将上式转化为等效的线性桥梁系统，在式的两侧同时增加一个线弹性内力Ku，其中，K为结构的初始刚度，并将其重新排列，得到方程：

式中，

其中，

其中，u

在得到非线性单元的节点位移后，通过材料本构关系来更新非线性修正力

当

修正过程中采用牛顿法和不动点法对包含非线性桥梁的车桥系统进行实时计算。

本发明提出一种高速列车、高速磁浮车桥耦合系统实时混合试验的高效计算方法，结合桥梁子模型自动更新的移动荷载积分法。在混合试验中，将振动台上的高铁、磁浮车等作为物理子结构进行试验，桥梁作为数值子结构建模，在每个时间步中，对桥梁在车辆作用下的动力响应进行数值分析。计算出桥梁指定位置的响应传递给振动台，振动台进行作动，引起磁浮列车振动。然后用振动台上的测力计测量出磁浮列车在该位置对桥梁的作用力，并在下一个时间步中施加到桥梁的相应位置。为了缩短计算机在实时仿真时所需的计算时间，提出结合桥梁子模型自动更新的移动荷载积分法。主要通过试验前对桥梁数值子结构计算所需要的数据进行存储，实际计算时对每一时步对应的数据进行抽取和计算，得到当前时步的位移响应。

与现有技术相比，本发明的突出优点在于：

1、计算实时性好：将结合桥梁子模型自动更新的移动荷载积分法应用于实际的实时混合试验中，试验中桥梁模块在1/256s内完成，满足实时混合试验对于计算速度的要求。需要注意的是移动荷载积分法仅适用于线弹性桥梁结构；当出现局部非线性时，结合弹塑性数值子结构方法可以较好地解决。

2、计算精度高：通过试验，该方法拥有可靠的精度：在线弹性系统下，误差为1×10

3、适用范围广：本发明可以应用于高铁列车、磁浮列车、汽车等运载工具模拟过桥时的实时混合实验中，解决数值子模型——桥梁计算速度难以达到混合试验要求的问题，有效提高试验过程中的数值子结构计算速度，显著提升实时混合实验闭环系统的稳定性及收敛性。本发明可以为桥梁、高铁列车、磁浮列车等的设计和改进提供参考依据，并提高实际车桥试验过程中的安全性及可靠性。

4、有效缩短前处理时间：与原移动荷载积分法对比，有效缩短前处理过程中所需时间，本发明中的方法通过与数值子结构方法相结合，单位脉冲可以加载在子结构中，需要计算的桥梁结构自由度数显著降低，有效降低提取桥梁响应并储存成影响矩阵的时间(原方法需要在桥梁整体中施加荷载并提取响应)。

5、本发明提高影响矩阵的适用性，兼容性强：在原移动荷载积分法中，影响矩阵中储存的是在混合试验过程中车辆荷载在桥上施加点的相关响应，若改变行车速度，或改变车辆对桥的荷载施加位置，需要重新单位脉冲加载计算并提取桥梁响应；在本发明的方法中，通过结合采用插值函数技术，获得的影响矩阵可以用于多种行车速度、及多种荷载位置的情况。

附图说明

图1是实时混合试验示意图。

图2是结合桥梁子模型自动更新的移动荷载积分法计算流程图。

图3是整体桥梁与子模型关系示意图。

图4是单位脉冲荷载L

图5是叠加得到f(x,t)示意图。

图6是有效数据位置示意图。

图7是荷载等效分配示意图。

图8是典型非线性本构关系图。

图9是相同工况下采用结合插值函数和影响域更新的移动荷载积分法和在Ansys中直接计算得到的桥梁响应对比图。

图10是相同工况下采用结合插值函数和影响域更新的移动荷载积分法和在Ansys中直接计算得到的桥梁响应绝对误差图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下实施例将结合附图对本发明进行作进一步的说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用于解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明实施例提出一种高速列车、高速磁浮车桥耦合系统实时混合试验的高效计算方法，结合桥梁子模型自动更新的移动荷载积分法，包括数值桥梁准备与实时混合试验两个阶段；实时混合试验示意图参见图1。在实时混合试验中，将振动台上的高铁、磁浮车等作为物理子结构进行试验，桥梁作为数值子结构建模，在每个时间步中，对桥梁在车辆作用下的动力响应进行数值分析。在指定位置计算出的响应传递给振动台，振动台产生响应，引起磁浮列车振动。然后用振动台上的测力计测量出磁浮列车在该位置对桥梁的作用力，并在下一个时间步中施加到桥梁的相应位置。为了缩短计算机在实时仿真时所需的计算时间，提出结合桥梁子模型自动更新的移动荷载积分法，通过试验前对桥梁数值子结构计算所需要的数据进行存储，实际计算时对每一时步对应的数据进行抽取和计算，得到当前时步的位移响应。结合桥梁子模型自动更新的移动荷载积分法计算原理图参考图2。可在Matlab&Simulink平台编写计算程序。

一、桥梁子模型自动更新方法：

荷载在桥梁上移动时，桥梁的振动被激发。桥梁的振动以波的形式在结构中传播。由于结构中的阻尼效应，结构振动在远离荷载作用的位置逐渐衰减。这意味着多跨桥梁结构的振动在任何时间都主要集中在荷载周围的有限区域，而桥梁的绝大部分区域都处于静止状态。桥上行车过程中，由于桥梁的大部分区域处于静止状态，对邻跨桥梁的动力相互作用贡献不大。从这个意义上说，多跨轨道梁结构可以被截断，通过考虑荷载和有限区域内的桥梁结构的作用，而不是整个桥梁整体，得到一个有效的动力学模型。该方法是以有限元法为基础，是离散的数值方法，可以运用于模型复杂的桥梁结构。

整体桥梁与子模型关系如图3所示，在该示例中，为方便说明情况，假设桥上荷载为给桥梁施加均布荷载的单节磁浮车，并假设单节车厢长度与单跨简支梁长度相等。最上方图为多跨桥梁整体示意图。单节车厢从左向右运动，当车尾在从左往右第2跨桥中运动时，车头在第3跨桥中运动，整车响应位置包含第2、3两跨，此时桥梁响应通过包含第1、2、3跨的子模型1进行计算。列车继续前进，车尾运行到第3跨时，车头运行到第4跨桥，此时已经超出子模型1的计算范围，需要进行模型更新，此时开始在包含第2、3、4跨的子模型2中计算，子模型2和子模型1中表示相同位置的两跨桥上的响应输出及输入点完全相同。在更新过程中，需要把车厢在子模型1中各时间步的施加给子模型1的力同步到子模型2中，并和相应的影响矩阵相乘，从而将车厢在子模型2中第1跨行驶时对第2、3跨的影响添加到子模型2的响应计算中。车厢继续运动，当车尾运行到第4跨时，开始采用子模型3进行计算。以此类推。

模型更新算法根据车辆荷载作用位置与桥梁的相对位置判断是否需要更新模型。对于多跨简支桥梁模型，模型更新算法的更新规则是阶跃式的，在一定的时间段内桥梁模型是时不变的。模型更新规则可以预先编写成信息矩阵。

二、结合移动荷载等效分配的移动荷载积分算法：

在真实或数值桥梁中，取和子模型相等跨数的桥梁，并选取好需要施加单位脉冲并提取响应的所有点。单跨桥梁选取点的数量应根据实际情况决定，对于30m以内跨度的桥梁，可以在桥梁长度方向平均取50个点，若桥梁跨度更长，取点数量应适当增加。

依次对点施加单位脉冲，提取并记录好所有点的桥梁响应。单位脉冲及提取响应的频率应该与实际实时混合试验中桥梁的响应输出频率一致。记录好相应数据。

根据实验中车辆给桥梁施加力的位置及试验中假定的列车运行速度，计算在试验中列车在整体桥梁上所有力施加点的位置，将位置分配到每个子模型内，进行数据处理。

在子模型中的处理方法及过程如下：

移动荷载在桥上运动的过程中，每一时间步施加的荷载会对后续施加荷载产生的桥梁响应产生影响，f(x,t)表示当移动荷载运动到x位置时，在t时刻桥梁的受力，根据叠加可以分解为：

上式中m表示总的计算时间步，下标n表示计算时步，t

在线弹性结构中，桥上各点在移动荷载下的位移u(x,t)可以根据线性叠加原理表示为：

上式中，u

在移动荷载行进速度及试验仿真步长都确定的情况下，移动荷载每一时间步下在结构上的作用位置是唯一的，在计算桥梁响应时，也只需要计算移动荷载作用点的响应，并不需要计算完整结构的响应。因此u

对于给定的行驶速度为x

此时，可以将各时间步对应位置的影响因子u

U

荷载F

u

拓展到多个力时，位移u

假设每个时间步有y个力施加到桥上，影响因子u

f

为进一步提高移动荷载积分法的适用性及前处理速度，在移动荷载积分法中引入插值函数。提前在相同的数值子模型有限元桥梁中，平均选取一系列均匀的荷载施加及响应提取点，依次对点施加单位脉冲，提取并记录好在所有点的桥梁响应。根据每个子模型中的荷载作用位置，通过插值函数分配荷载至最近的两个响应提取点，计算响应后再通过插值函数叠加得到该荷载作用位置的响应值，从而计算得到影响矩阵。

结合插值函数的具体过程，如图7所示。其中点1、2、3为子模型中提前施加单位脉冲并提取响应的点，点a、b为实际混合试验的荷载作用位置。图中L表示子模型中相邻两个施加荷载并提取响应点的间隔，x为点a到点1的距离，y为点b到点2的距离。

L

通过与插值函数相乘，可以将L

u

u

u

u

三、移动荷载积分算法的非线性修正：

由于非线性问题需要迭代求解，移动荷载积分法的形式更为复杂。以下详细阐述存在局部非线性构件时使用移动荷载积分法在结构动力响应分析中的应用。

由有限元一般理论，车桥耦合系统中数值桥梁的动力平衡方程为：

其中，R(u)为内力，是单元节点位移u的隐式非线性函数。M和C是结构的质量矩阵和阻尼矩阵，P是施加在节点上的外力矢量。

假设非线性部分材料的本构关系为简单双线性弹塑性关系，其应力应变关系如图8所示。

计算桥梁响应时，计算出非线性构件的受力，判断其是否已经进入塑性区间。若未进入塑性区间，构件处在弹性阶段，不需进行修正；若已经进入塑性区间，则对构件变形进行修正。

用弹塑性数值子结构方法可以将上式转化为等效的线性桥梁系统。在式的两侧同时增加一个线弹性内力Ku，其中，K为结构的初始刚度，并将其重新排列，得到方程：

上式中的

其中，

其中，u

当

修正过程中可以采用牛顿法和不动点法(不迭代)对包含非线性桥梁的车桥系统进行实时计算。

该方法准确性高，在计算线弹性桥梁的响应时，利用结合插值函数和影响域更新的移动荷载积分法求解桥梁响应的模型与在相同工况下在Ansys中直接求解的结果进行对比，两种方法荷载作用点处的桥梁响应图9所示，相对误差如图10所示。可以看出，移动荷载积分法求解的桥梁响应与Ansys中直接求解的桥梁响应相比，两者的曲线吻合的良好，绝对误差为10

与传统方法相比该方法有效提高在有限元软件中计算并得到影响矩阵的时间，前处理时间与传统移动荷载积分法相比根据模型大小不同，可以缩短几十倍甚至几百倍。有限元的求解速度，会随着模型自由度的增多而显著增加，同时也会随着有限元软件运行时间的增长而增加。通过本发明中的方法，只需建立规模较小的有限元模型，并在其中求解得到影响矩阵，再通过本发明中的子模型更新方法，可以在混合实验中实现几十、甚至几百跨桥梁模型响应的计算。

本发明方法实时性良好，通过Simulink-Realtime在CPU为4代i7的主机中测试实时性，在给桥梁左右两端各施加一个移动荷载的情况下，桥梁模型响应计算单步耗时可以控制在1ms以内，满足实时混合试验的要求。

上述实施例仅为本发明的较佳实施例，不能被认为用于限定本发明的实施范围。凡依本发明申请范围所作的均等变化与改进等，均应仍归属于本发明的专利涵盖范围之内。