基于分数阶微分的压电执行器非线性动态建模方法

技术领域

本发明涉及压电执行器领域，尤其涉及一种压电执行器非线性动态建模方法。

背景技术

压电执行器广泛应用于集成电路、光学器件、微机械加工等领域。压电执行器利用逆压电原理，将电压信号转化为位移信号进行工作。理论上，压电执行器输出与输入成正比。但是大量研究表明输入输出并不是理想线性特征，而是具有非线性特征。压电执行器任意时刻的输出与当前输入密切相关关，还会受到历史输入和历史输出影响。这一特征是非线性系统普遍具有的共性——非线性动态特性，表现为同样输入输出并不一定相同，除非历史过程都一样。如果建模忽略了压电执行器的非线性动态特征，必然影响建模精度，最终影响执行器控制性能。因此，考虑历史输入输出的压电执行器模型才能更好反映系统非线性动态特征。

辨识模型中未知参数是建模的核心内容，即如何利用测试数据设计参数辨识算法实现未知参数辨识。通常是构造代价函数并对代价函数求整数阶微分设计参数辨识规则。整数阶微分反映了信息的瞬时变化，测量数据不可避免含有噪声，参数辨识可能随噪声波动甚至发散。

发明内容

发明目的：针对以上问题，本发明提出一种基于分数阶微分的压电执行器非线性动态建模方法，对代价函数求分数阶导数而不是整数阶微分，设计参数辨识规则，降低噪声对参数辨识影响，同时该分数阶微分是有限时间范围内的分数阶微分，不显著增加计算机开销，又能使参数辨识收敛更快、更稳定。

技术方案：为实现本发明的目的，本发明所采用的技术方案是：基于分数阶微分的压电执行器非线性动态建模方法，包括以下步骤：

步骤1：压电执行器输入输出非线性模型表示为：

Ψ

其中v(t)是输入电压，s(t)是压电执行器输出位移，d(t)表示噪声，Ψ

步骤2：对公式(1)进行离散化得到：

Ψ

其中s(i),v(i),d(i),Ψ

步骤3：根据卷积定义将公式(2)改写为：

由Ψ

步骤4：将s(i)用向量表示：

s(i)＝-[p

其中T表示转置，p

p

p

q

q

步骤5：引入中间变量：

根据公式(5)得到：

定义代价函数：

步骤6：设计如下参数辨识规则使公式(10)和公式(11)的代价函数收敛；

其中β

步骤7：对压电执行器进行实验，以抽样间隔Ta采集输入输出数据，并对采集数据进行平滑滤波；根据步骤6的参数辨识规则进行参数辨识，得到参数矢量p

步骤8：根据得到的参数Ψ

进一步的，根据压电执行器位移s(t)计算最优控制输入电压v(t)，实现非线性补偿，方法如下：

和/>

有益效果：与现有技术相比，本发明的技术方案具有以下有益的技术效果：

本发明提出了一种分数阶微分的压电执行器非线性动态建模方法，该建模方法不仅考虑了当前输出与历史输入的关系，还考虑了历史输出对当前输出的影响，同其他建模方法相比，本建模方法更符合压电执行器非线性特征，模型更准确，执行器控制精度更高，能取得更优控制性能。

本发明的核心在于根据模型构造代价函数，并对代价函数求分数阶差分而不是整数阶差分建立参数辨识规则，兼顾历史信息而不是仅仅依赖瞬时信息进行参数辨识，该参数辨识规则既能有效利用最新信息，又能利用历史信息，确保参数迭代稳定收敛，降低噪声对参数辨识的影响。

本发明利用改进的分数阶差分进行参数辨识，对历史信息赋予不同权重，对权重过低的历史信息忽略，截取有限长度数据进行分数阶差分，降低计算机开销。本建模方法既不会因为数据增加而增加计算机开销，又具有较高的运行速率。固定长度的分数阶差分，就是一个固定长度的卷积过程，便于利用离散傅里叶变换快速算法(FFT)实现，不增加计算复杂度，又便于快速实现，提高压电执行器控制实时性。

附图说明

图1为压电执行器建模及补偿流程图；

图2为压电执行器输入输出示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步的说明。

本发明所述的基于分数阶微分的压电执行器非线性动态建模方法，流程如图1，具体包括以下步骤：

步骤1：通过分析压电执行器输入输出非线性动态特性，建立压电执行器输入输出非线性关系模型。

压电执行器在电场作用下产生位移，任何输出都是输出的响应，当前输出是历史输入作用的结果。同时，压电执行器不可能是理想元件，输入输出具有非线性特性。当前输出与历史动态密切相关，当前输出受历史输入输出影响。任何系统不可避免受到各种噪声影响，压电执行器同样如此。

图2表示压电执行器输入输出关系。输入电压v(t)，f(v(t))是关于v(t)的非线性函数，反映压电执行器的非线性关系，d(t)表示噪声，压电执行器输出位移为s(t)，图2表明压电执行器输出是输入的非线性函数，同时受到噪声影响。

压电执行器输入输出非线性模型表示为：

Ψ

其中v(t)是输入电压，s(t)是压电执行器输出位移，d(t)表示噪声，Ψ

步骤2：由于计算机只能处理离散信号，因此对公式(1)进行离散化得到：

Ψ

其中s(i),v(i),d(i),Ψ

步骤3：根据卷积定义将公式(2)改写为：

由Ψ

步骤4：将s(i)用向量表示：

s(i)＝-[p

其中T表示转置，p

p

p

q

q

步骤5：引入中间变量：

s

s

根据公式(5)得到：

s

定义代价函数：

步骤6：设计参数辨识规则使公式(10)和公式(11)的代价函数收敛。

根据分数阶系统稳定性理论：正定函数的分数阶差分恒小于0或等于0(不恒等于0)，则该正定函数收敛。根据该理论设计参数辨识规则。

计算公式(10)和公式(11)的离散分数阶差分：

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其中

Γ(·)表示Gamma函数。

根据分数阶系统稳定性理论设计参数辨识规则：

其中

根据公式(15)和公式(16)，得到参数迭代规则：

从公式(17)和公式(18)可以看出：随着i增加，迭代运算量显著增加，随着时间推移，计算延时将异常大。公式(17)和公式(18)也表明距离当前时刻越久远，对参数辨识的权重越小，因此过于久远的数据可以忽略。截取长度为l的数据进行辨识，得到改进后的迭代辨识规则：

其中β

步骤7：对压电执行器进行实验，以抽样间隔Ta采集输入输出数据，并对采集数据进行平滑滤波；根据步骤6的参数辨识规则进行参数辨识，得到参数矢量p

步骤8：根据离散化模型(公式(2))中得到的参数Ψ

步骤9：根据压电执行器要求的位移s(t)计算得到最优控制输入电压v(t)，实现非线性补偿。对Ψ

得到压电执行器控制电压v(t)：

其中