基于有限壳条法的双槽渡槽结构地震响应分析方法

技术领域

本发明属于渡槽结构抗震技术领域，特别涉及一种基于有限壳条法的双槽渡槽结构地震响应分析方法。

背景技术

渡槽结构作为跨流域调水工程中的关键性建筑物，其截面尺寸和输水流量较大，确保大型渡槽安全运行对输水保障至关重要。目前，有限元方法被广泛应用于渡槽结构的分析计算，但该方法单元数目众多，动力计算工作量大，计算时间长，因此，研究和完善渡槽的结构计算方法具有重要的工程意义。

渡槽结构与桥梁结构类似，但有一个显著区别于桥梁结构的特点就是在使用时渡槽槽身存在着水荷载，水荷载的准确模拟对于渡槽结构的研究十分重要，所以在进行渡槽结构的地震响应分析时对于渡槽与水体之间的流固耦合作用研究是必不可少的。现有文献在研究槽身与水体相互作用时主要采用附加质量模型、Housner模型和数值模拟流固耦合模型等。

上述研究在进行渡槽结构地震响应分析时，采用了不同计算分析方法来模拟槽身与水体之间的流固耦合作用，大都采用有限元软件来建立模型，这些计算模型在一定程度上提高了数值模拟的精度，但与实际地震作用下槽身与水体之间的相互作用仍然存在一些差异，且模型计算时间长，计算工作量大，所以丰富大型渡槽地震响应分析模型十分重要。

发明内容

针对现有计算分析模型在数值模拟上与实际地震作用下槽身与水体之间的相互作用存在差异，且模型计算时间长，计算工作量大的问题，本发明提供一种高效简便的有限壳条法计算方法，用于建立渡槽地震响应分析模型，并在此基础上考虑了流固耦合作用的基于有限壳条法的双槽渡槽结构地震响应分析方法。

本发明解决其技术问题所采用的方案是：一种基于有限壳条法的双槽渡槽结构地震响应分析方法，建立基于有限壳条原理的渡槽结构动力分析模型，在动力分析模型的基础上做流固耦合渡槽动态特性分析模型，利用流固耦合渡槽动态特性分析模型进行矩形双槽渡槽稳定性分析和矩形双槽渡槽地震响应分析。

所述渡槽结构动力分析模型首先建立两端自由矩形有限壳条单元，利用两端自由矩形有限壳条单元构建矩形双槽渡槽结构有限壳条法动力分析模型。

在矩形双槽渡槽结构有限壳条动力分析模型的基础上，考虑水体晃动对渡槽的影响，结合能量原理建立考虑流固耦合作用的矩形双槽渡槽整体的流固耦合渡槽动态特性分析模型，并将该流固耦合渡槽动态特性分析模型应用于工程实例的动力特性分析。

在流固耦合渡槽动态特性分析模型的框架下进行矩形双槽渡槽槽身的弹性稳定性分析，从而建立整个渡槽的稳定性分析模型，并对矩形双槽渡槽整体结构的稳定系数以及失稳模态进行计算。

同时依据流固耦合渡槽动态特性分析模型建立渡槽地震响应分析方程，然后依据渡槽结构的动力特性、地震波的峰值、频谱特性、地震波的持续时间以及场地类型，选取了三条天然地震波对矩形双槽渡槽进行横向与纵向激励，从槽身和排架关键部位点的位移及结构内力方面进行矩形双槽渡槽地震响应规律分析。

两端自由矩形有限壳条单元包括位移函数、应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵和质量矩阵；其中有限壳条内部任意一点位移表达式为

式中，下标s表示有限壳条的相应变量(下同)；r表示拟定运算取得的最后一项级数；u、v、w分别为计算点处对应横向，竖向及纵向的位移分量；{f}

其中，u

有限壳条的应变包含弯曲条和平面应力条两种变形所对应的相关应变值，平面应力条内任意一点的应变是ε

弯曲有限条竖向挠度w可表示为平面坐标x、y的函数，其弯曲和扭曲的曲率由下式w位移函数的导数形式给出

由平面应力条和弯曲条组合而成的有限壳条应变为

式中，[B]

有限壳条的应力包含弯曲条和平面应力条两种变形所对应的相关应力值，平面应力条应力与应变关系式为

式中，[D]

弯曲条的弯矩、扭矩与曲率、扭曲率的关系如下式所示

式中，[D]

弯曲条与平面应力条组合的的自由矩形有限壳条应力与应变关系表达式为

其中，[D]

所述刚度矩阵为

刚度矩阵中的子矩阵为

质量矩阵为

质量矩阵中的子矩阵为

渡槽的排架是由立柱、盖梁及联系横梁组成的多层刚架，刚架竖向对称面与渡槽纵轴线垂直，排架采用空间梁单元离散，建立空间梁坐标系，取空间梁坐标系的线位移分量和截面转角位移分量构成空间梁单元结点位移矩阵，获得空间梁单元的刚度矩阵与质量矩阵。

利用弹簧单元模拟渡槽的支座；通过弹簧单元三个正交方向的刚度模拟渡槽支座的平动刚度，采用能量变分原理推导支座在刚度矩阵中的位置，并将其叠加至整体刚度矩阵中。

采用空间梁单元离散渡槽排架模型，通过支座连接渡槽上部结构与下部结构，组集得出渡槽结构总体刚度矩阵、总体质量矩阵以及总体阻尼矩阵。

采用Housner法计算渡槽内的水体效应，结合流固耦合获取有限壳条单元刚度矩阵与单元质量矩阵，建立排架式矩形双槽渡槽多跨整体运动方程，计算了工程实例的动态特性。

对有限壳条单元以及空间梁单元进行几何刚度计算，通过最小势能原理进行推导，得出渡槽整体结构弹性稳定性问题的基本方程式。

矩形双槽渡槽地震响应分析的有限壳条法采用动态时程分析法，建立渡槽整体地震响应动力方程。

本发明的有益效果：本发明提供的基于有限壳条法的双槽渡槽结构地震响应分析方法在保证相同计算精度的前提下，具备单元数目少、计算时间短、工作量少等优点，在此基础上，进行了双槽渡槽动态特性分析、稳定性计算以及地震响应分析。

附图说明

图1是本发明技术方案的框视图。

图2是自由端矩形有限壳条单元示意图。

图3是局部和公共的坐标系示意图。

图4是空间梁单元示意图。

图5是有限壳条法计算流程图。

图6是渡槽横截面水体等效示意图。

具体实施方式

实施例1：为了更好地研究分析渡槽结构在地震响应受力，本发明提供一种基于有限壳条法的双槽渡槽结构地震响应分析方法，如图1所示，本发明采用有限壳条法建立矩形双槽渡槽结构的计算模型，提出两端自由矩形有限壳条单元，推导有限壳条的单元刚度矩阵与单元质量矩阵的具体表达式，并判断有限壳条法中级数m的取值对计算精度的影响。将两端自由矩形有限壳条单元应用于渡槽槽身结构，组集矩形双槽渡槽结构的总体刚度矩阵与质量矩阵。

利用Hamilton变分原理，推导考虑水体晃动效应的有限壳条动力特性矩阵。在此基础上，建立矩形双槽渡槽多跨整体运动方程，分不同工况对实际工程中的矩形双槽渡槽进行动力特性分析。

应用能量变分原理，推导有限壳条单元的几何刚度矩阵，并建立渡槽槽身及整体结构稳定性计算的基本方程，对实际工程中的矩形双槽渡槽进行稳定性分析，研究渡槽跨度、槽内水位、槽壁设计参数以及侧向风荷载对稳定性的影响。

应用有限壳条法建立矩形双槽渡槽多跨整体结构地震响应运动方程，并进行渡槽振动台试验。以实际工程为研究对象，选取不同地震波对渡槽进行多工况的横向激励与纵向激励，从渡槽整体结构的位移、槽身跨中应力以及排架底部内力等方面分析矩形双槽渡槽地震响应规律和特点，为工程实际提供参考。

其中两端自由矩形有限壳条单元需要建立位移函数、应变矩阵和应力矩阵，从而推导有限壳条的单元刚度矩阵与单元质量矩阵的具体表达式。

如图2所示，在矩形有限壳条单元组合变形中，弯曲变形有限条对应位移和平面应力有限条对应位移允许同时发生，则对应于自由端矩形有限壳条单元内任一点的位移，可以表示为沿x轴方向的横向位移μ、沿y轴方向的纵向位移ν、沿z轴方向的垂直壳条中面的位移ω，而每条节线上将有4个位移参数。其有限壳条内部任意一点位移可写为如下表达式

[N]

{δ}

上式中，下标s表示有限壳条的相应变量(下同)；r表示拟定运算取得的最后一项级数；u、v、w分别为计算点处对应横向，竖向及纵向的位移分量；{f}

其中，u

壳条位移函数分别采用系数多项式和级数函数形式，分别描述单元横向位移和纵向位移变化。例如，假设两端自由有限条可表示为级数函数：两端自由为

(Y″(0)＝Y″′(0)＝0，Y″(a)＝Y″′(a)＝0)

Y

[N]

其横向位移形函数部分为

c

c

c

式中：a为有限壳条单元的长度；b为有限壳条单元的宽度；x为计算点处的局部横坐标值；y为计算点处的局部纵坐标值。

应变矩阵有限壳条的应变包含弯曲条和平面应力条两种变形所对应的相关应变值，比如正应变和剪应变，同时需要考虑弯曲条中面沿x、y方向的曲率及扭曲率。平面应力条内任意一点的应变是ε

弯曲有限条竖向挠度w可表示为平面坐标x、y的函数，其弯曲和扭曲的曲率由下式w位移函数的导数形式给出

则由平面应力条和弯曲条组合而成的有限壳条应变为

式中，[B]

将有限壳条内任一点位移式(2.1)及式(2.3)代入上式中，即得有限壳条对应级数阶的应变矩阵

式中：k

有限壳条的应力包含弯曲条和平面应力条两种变形所对应的相关应力值，比如正应力和剪应力，同时还需要考虑弯曲条中的弯矩、扭矩等。推导的平面应力条应力与应变关系式为

式中，[D]

弯曲条的弯矩、扭矩与曲率、扭曲率的关系如下式所示

式中可见，[D]

则两种变形组合(弯曲条与平面应力条)后的自由矩形有限壳条应力与应变关系表达式如下式

式中，[D]

其中：E为有限壳条单元材料弹性模量；μ为有限壳条单元材料泊松比；t为有限壳条单元厚度；G为材料剪切弹性模量，G＝E/(2(1+μ))。

这里需要指出的是，尽管弯曲矩形有限条竖向应变与其它方向的应变相比

很小，可以忽略不计，但与其相关的应力σ

式中，

将式(2.1)的竖向位移计算公式w代入上式即可求出相应应力值。

当处于弹性状态下的有限壳条发生受力变形时，按照能量原理，可计算有限壳条应变能表达式如下

外表面分布荷载{q}的势能为

由最小势能原理可得，两种变形组合形式的有限壳条刚度矩阵为

其中，刚度矩阵中的子矩阵为

质量矩阵为

其中，质量矩阵中的子矩阵为

代带入可得刚度矩阵的具体表达式为

E

质量矩阵的具体表达式为

以上推导出来的单元刚度矩阵和单元质量矩阵都是按照局部坐标系推导得到的，局部坐标中的两个轴线一般是放在条的中面上的，当所有的有限壳条单元位于同平面内时，则可以按照上述矩阵求解公式完成计算并组集其特性矩阵，这是因为所有单元中的条都是共平面的，上述公式可直接用于解决平面板的问题。但如果组成结构的是折板结构(如渡槽结构具有底板和侧壁，两者相互垂直)，任何两块板都相交成一个角度，这时就需要考虑非共面条的公共结线上的结点力平衡，并建立平衡方程，这种情况下就要用到公共坐标系。

如图3所示，条的局部坐标系是用x′，y′，z′表示，而公共坐标系用x，y，z表示，且y和y′彼此重合，也与两相邻条的交线重合。即两坐标系转换关系如下：

其中

则

[K]

[M]

经过坐标转换之后，渡槽槽身结构的整体刚度矩阵和质量矩阵就可以根据直接刚度法组集而成。

基于上述两端自由矩形有限壳条单元构建矩形双槽渡槽结构有限壳条法动力分析模型，矩形双槽渡槽结构有限壳条法动力分析模型分为渡槽排架分析模型、渡槽支座单元和边界条件，并组集整理构建渡槽结构总体刚度矩阵和质量矩阵，同时建立渡槽结构总体阻尼矩阵。

在渡槽结构的整体受力变形计算中，排架做为上部渡槽槽身的承重与支撑约束结构，其受力变形特性对整体结构的分析计算有较大影响。大型渡槽结构的排架是由立柱、盖梁及联系横梁等组成的多层刚架，刚架竖向对称面与渡槽纵轴线垂直，其置于横槽向。根据排架多层刚构结构特点，将排架采用空间梁单元离散。

如图4所示，以i、j为结点的空间梁单元，每个单元都有2个结点，建立如图4所示右手坐标系，x轴是梁单元的轴线方向，y、z两轴分别为空间梁截面的主惯性轴，即每个结点有六个自由度，分别为x、y、z三个方向的线位移分量和三个截面转角位移分量。图中所取方向均为正方向，则空间梁单元结点位移矩阵为：

{δ

{δ

单元结点位移列阵为：

对应的单元结点力矩阵为：

上式中，N

由此可得局部坐标下空间梁单元的刚度矩阵与质量矩阵：

/>

做为渡槽结构整体的一个重要组成部分，橡胶支座是承上启下的中间元件，连接了上部槽身和下部支墩结构。由于橡胶支座在外荷载作用下可以发生较大的变性，通过合理设置支座，可以将渡槽槽身的自重和输水荷载更好地传递到下部支撑结构。同时由于橡胶支座具有良好的横向变形吸能耗能能力，故此在地震荷载作用下，通过支座的受力变形与滞回耗能，可有效减小渡槽上、下部结构地震响应，更多得减少槽身上部结构和槽墩的受损程度，起到对渡槽整体的减隔震效果。因此，在渡槽结构整体静动力计算分析中，正确模拟支座单元是非常重要。

盆式橡胶支座是渡槽工程应用较多的一种支座。本文采用不考虑质量的弹簧单元来模拟渡槽盆式橡胶支座。该弹簧单元沿三个正交方向的刚度分别为：k

对于多跨渡槽结构，一般将盆式橡胶支座安装于渡槽槽身的两端位置，在进行渡槽结构整体剖分和单元划分时，可将盆式橡胶支座弹簧单元安放在有限壳条节线端点和排架空间梁段单元节点位置。可假设弹簧单元E的的两个节点表示为p、q，节点p为渡槽槽身底板边缘有限壳条H节线上的一点，节点q为排架端部梁段单元I的一个位置点，将两节点p和q的节点位移表示为

{δ}

节点p位移计算式可由其所在有限壳条H的局部坐标代入有限壳条位移形函数并考虑有限壳条H节线位移，表示为

其中，[R]

由排架梁段单元的位移形函数矩阵可求得用排架梁段单元I节点位移表示

的节点q的位移表达式

{δ}

其中，[R]

由弹性应变能的计算方法，得到弹簧单元弹性应变能

其中，k

上式中{δ}

渡槽排架结构底部的边界条件为固结。

在渡槽整体结构中，槽身与排架分别采用的有限壳条单元和空间梁单元，并且用盆式橡胶支座连接起来，所以需要组集整理得出渡槽结构总体的刚度矩阵和质量矩阵。即总体刚度矩阵为

再根据对号入座法，将盆式橡胶支座对其刚度的影响叠加到渡槽结构的整体刚度矩阵对应位置。总体质量矩阵为

阻尼其物理意义为力的衰减和物体在运动过程中能量的耗散，简单来说，就是阻止物体继续运动。渡槽阻尼矩阵单纯依据结构形状参数及材料特性来确定是不够准确和全面的，一般利用瑞利阻尼理论，将振动系统的阻尼矩阵表示为质量矩阵与刚度矩阵的线性组合：

C＝αM+βK (2.25)

阻尼参数的设置包括阻尼系数α和β以及阻尼比ξ，α和β的值按下式计算：

ω

如图5所示有限壳条法计算流程图，编制的计算机程序：

(1)单元刚度矩阵、单元质量矩阵的生成

将渡槽槽身划分成若干个单元，并进行有序的编号。输入材料参数及相关公式确定所需矩阵，然后对级数m进行循环，对单元条循环，计算出槽身的单元刚度矩阵和单元质量矩阵。根据相关空间梁单元公式，计算槽身支架单元，然后计算支座单元，并把各个单元信息存储在文件中。

(2)组集总体矩阵

根据本文提出的大型双槽渡槽结构有限条法动力分析模型，将槽身有限壳条单元与排架空间梁单元通过支座单元进行组集，从而得到双槽渡槽整体结构的刚度矩阵和质量矩阵。

(3)判断计算类型，做出相应计算

判断计算模态还是计算整体响应。进行稳定性分析以及动态特性分析时，直接按照相应公式代入就可得到相应结果。当计算整体地震响应时，就需要读入地震波数据文件，形成荷载列阵，解动力方程得节点位移、速度、加速度相应数值，并输出到相关文件中。

基于上述两端自由矩形有限壳条单元结合流固耦合作用构建渡槽结构动力模型，首先设计渡槽内水体流固耦合计算方法，构建考虑流固耦合的渡槽有限壳条位移函数、渡槽有限壳条单元刚度矩阵以及渡槽有限壳条单元质量矩阵，对渡槽结构的自振特性进行分析求解。

关于槽内水体流固耦合计算方法，本发明采用Housner法计算槽内水体效应。根据Housner理论的模型，当渡槽受到横向地震荷载时，流体与槽身的相互作用力分别由脉动压力项和对流压力项组成。

脉动压力所产生的对渡槽侧壁的作用力为

其中，ρ为水的密度；h为槽内水深；b为槽内壁宽度；

用固定于槽体的质量块

质量块

流体的奇数阶振动可当作对流压力对槽体的作用力，各阶的对流压力S

流体第n阶对流谐振力的等效质量

等效弹簧刚度

距底板的距离h

渡槽结构空间动力模型可采用矩形有限壳条法，就是将渡槽槽身沿跨长划分为若干个矩形有限壳条单元。如图6所示，为渡槽横截面的示意图，坐标原点取在渡槽结构形心处，为C点，图中的S表示截面的扭转中心。已知渡槽槽身在受力发生变形的过程中，槽身的横截面的形状都是一样的，始终不会变化，其位移为沿x轴的横向位移u、沿y轴的竖向位移v、沿z轴的纵向位移w以及绕扭转中心的扭转位移θ。

本发明选取三阶对流谐振力等效弹簧—质量系统进行分析说明，其中

u

上式中：

而

[N]

进一步的考虑流固耦合的渡槽有限壳条单元刚度矩阵，在考虑流固耦合的有限壳条单元弹性应变除了有限壳条本身的应变能之外，还有附联水等效的弹簧应变能。

以附联水等效的弹簧应变能第一项为分析对象，级数m取3为例，则

对U

同理可得

采用对号入座法，经组集并整理后，可得考虑附联水质量后的渡槽有限壳条单元刚度矩阵

在原有有限壳条质量矩阵的基础上加上质量块

δU

在上述模型及相关阵列的基础上对渡槽结构的自振特性分析进行分析计算。

把局部坐标系内的有限壳条、空间梁单元、弹簧单元的节线(或节点)质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、位移向量以及荷载列阵转换到渡槽结构整体坐标系，应用直接刚度法可建立矩形双槽渡槽整体的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、位移向量和荷载列阵。则渡槽整体结构的动力方程为

上式中，[M]为渡槽整体结构的质量矩阵；{δ}为渡槽整体结构的位移列阵；[C]为渡槽整体结构的阻尼矩阵；[K]为渡槽整体结构的刚度矩阵；{F(t)}为外荷载列阵。

下式为整体结构的无阻尼自由振动方程(式中略去了阻尼矩阵、作用荷载向量)

不考虑阻尼的结构自由振动的特征值问题为

式中，φ

使用Matlab软件编写相应的代码来进行求解，自由振动的特征值问题应用迭代法来进行计算。